Доброго времени суток. На сегодняшнем разборе мы будем находить решение интеграла функции комплексной переменной. Достаточно необычное это дело. Весь интерес заключается в количестве проделанных действий, иначе говоря, необходимо помнить как минимум: способы проверки функций на аналитичность, элементарные преобразования с комплексными числами, решение криволинейных интегралов. Уверенно оперируя этими навыками с лёгкостью разберётесь и с данным примером:
Главное не теряться при виде такого. А первым же делом выполнить проверку на аналитичность подинтегральной функции. Следует напомнить, что проверку можно выполнять тремя простыми способами: свойства аналитических функций, условия Коши-Римана, частная производная по z сопряжённому должна равняться нулю.
Данная функция не проходит по всем трём, опытные решалы это заметили. Самое очевидное, это свойства аналитических функций, тут присутствует Im, что свидетельствует о выделении мнимой части после преобразований, а это в свою очередь влечёт за собой не выполнение условий Коши-Римана. Следовательно из всего функция не аналитична, решение будет выполняться исходя из правил криволинейных интегралов второго рода. Распишем и упростим подинтегральную функцию.
Расписали, раскрыли скобки в числителе. Теперь домножим числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое знаменателю число, то есть x+iy. Для того, чтобы в дальнейшем избавиться от мнимой части в знаменателе.
Раскроем везде скобки и запишем конечный результат.
Как видно из полученного выражения функция не удовлетворяет условиям Коши-Римана, что было сказано ранее, так как отсутствует мнимая часть. Выполним подстановку в интеграл и составим уравнение линии по заданным координатам точек O и С.
Решение будем выполнять по переменной x, можно выполнять и по у, разницы тут совсем никакой нет, так как при подстановке любой из переменных мы получим одинаковый по сложности интеграл. Выполним подстановку вместо переменной у и зададим пределы интегрирования, раз решение по переменной x, значит пределы интегрирования берутся по x.
Не стоит пугаться дифференциала, мы имеем право раскрыть скобки и расписать на два отдельных интеграла. Выполним упрощения и доведём дело до конца.
Полное решение выполнено успешно, результат сходится. Ответ показывает вектор с координатами 2+2i, но как правило при решении криволинейных интегралов, там находят длину дуги кривой. Чтобы получить длину нашего вектора, нужно взять от него модуль, в итоге длина вектора...
В общем-то говоря, полное решение получено. Все непонятные моменты пишите в комментариях. Спасибо за внимание.
Другие темы: