Приветствую, уважаемые читатели, недавно я наткнулся на статью в дзене посвящённую знаменитому математику Джону Конвею, который изобрёл не менее знаменитую игру в жизнь.
Сама статья про него крайне интересная, рекомендую к прочтению, однако больше всего меня заинтересовала игра Пенни упомянутая в конце этой статьи и не рассмотренная в ней, а, точнее, утверждение Мартина Гарднера о "волшебной" формуле Конвея, которая описывает вероятность выигрыша в эту игру:
Но хочется завершить этот текст словами Мартина Гарднера о формуле Конвея для вероятности выигрыша в игру Пенни:
«Я не понимаю, почему это работает. Она просто выдаёт ответ как по волшебству, как многие другие алгоритмы Конвея».
Правила игры Пенни
Эта игра названа в честь её изобретателя Уолтера Пенни, в чём же её суть?
Игра происходит так: первый игрок выбирает бинарную последовательность, то есть комбинацию состоящую из возможных последовательных выпадений орла и решки, например - оорор (орёл, орёл, решка, орёл, решка), затем второму игроку сообщается комбинация первого и он придумывает свою, такой же длины.
После этого начинается сама игра: начинают подкидывать монетку - побеждает тот, чья комбинация выпадет первой. Так в чём же здесь удивительный парадокс?
С самого начала изучения вероятности, ещё в школе, нам твердят: если мы рассматриваем следующие друг за другом одинаковые события(к примеру - подкидывание монеты), которые никак не влияют друг на друга и имеют несколько случайных исходов (каждый раз одинаковые) - вероятность каждого исхода в каждом отдельном случае будет одной и той же и независимой от предыдущих исходов, говоря простым языком - если у вас 100 раз подряд выпала решка, вероятность выпадения орла и решки, соответственно, в 101 раз - всё ещё 50 на 50.
Зная это, сразу кажется, что игра Пенни лишена смысла - это чистая случайность, ведь мы просто подкидываем монету, а игроки, казалось бы, в равных условиях, но это не так.
На самом деле шансы выиграть у второго игрока - всегда больше (при последовательности более 2 и правильной игре), благодаря тому, что он знает, какую комбинацию выбрал первый игрок. Какая же верная стратегия, для второго игрока?
Выигрышная стратегия
Рассмотрим последовательность в три броска. Приведу таблицу, в которой показано, что должен выбрать второй игрок чтобы обеспечить себе большую вероятность победы:
В первом столбце - выбор второго игрока (1 и 0 вместо орла и решки), в первой строчке - первого, на пересечениях - вероятность победы второго. Жирным выделена максимальная вероятность - то есть из этой строчки в своём столбце второй игрок и выбирает комбинацию, чтобы шанс выиграть был максимальным.
Как это работает? В общем формулу можно записать так: второй выбирает в комбинацию:
- Значение, противоположное второму значению первого игрока
- Первое значение первого игрока
- Второе значение первого игрока
Секрет в том, что, на самом деле, выпадение этих комбинаций - это не совсем независимые исходы, ведь это последовательность исходов, причём в одной и той же серии бросков монеты.
Второй игрок, выбирая значение противоположное второй позиции первого игрока на своё первое значение, гарантирует себе то, что предыдущий + этот бросок не начали комбинацию первого.
Сложно для понимания? Смотрите: возьмём комбинации первого 010 и второго 101 (не по правилу).Для каждого броска (кроме первого) существует так же предыдущий, то есть, если сейчас у нас выпало 1 (и игра ещё не закончилась), то перед этим могли выпасть 0 или 1, так как мы выбрали первую позицию не по правилу - шанс, что перед этим броском выпало именно 0, означает, что первый игрок уже собрал комбинацию 01 и ему осталось выиграть шанс 50 на 50 в следующем броске, чтобы победить! Как раз для исключения таких случаев было придумано правило для первой позиции.
По какому принципу выбрана вторая и третья позиции? Просто это начало комбинации первого игрока, то есть, по сути, первый игрок собирает комбинацию не из трёх значений, а из четырёх! Ведь ему обязательно нужно, чтобы бросок перед его комбинацией не был началом комбинации второго, ведь тогда второй просто выиграет раньше!
Например для комбинации первого 010 не подходит серия 0010, так как второй игрок выберет комбинацию 001 и соберёт её первее! Можете как-нибудь удивить друзей или близких раз за разом обыгрывая их в подобную несложную игру.
В данной статье я рассмотрел только самые ключевые моменты, а до некоторых нюансов мне пришлось догадаться самому, так как я не нашёл ответов на некоторые вопросы среди первых ссылок, а искать англоязычные первоисточники как-то особо не хотелось, буду благодарен вашему лайку и подписке, за моё старание, но, разумеется, решать вам! Спасибо, что дочитали.