Свой анализ случайной последовательности в книгах для заинтересованной публики именитые математики начинают с рассмотрения трёх начальных фрагментов от длинных последовательностей, фрагменты выглядят у них примерно так:
10001011101111010000 (I)
00000000000000000000 (II)
01010101010101010101 (III)
Именитые математики обращают внимание читателей на внешний вид этих фрагментов и начинают рассуждать о том, что фрагмент (I) выглядит вполне случайным, в отличие от фрагментов (II) и (III). Сделав это наблюдение (фрагмент (I) выглядит вполне случайным), именитые авторы развивают свою мысль о том, какими свойствами обладает случайная последовательность представленная фрагментом (I). Успенский В. А. в работе [1] перечисляет эти математические свойства случайной последовательности:
Свойство № 1. Случайная последовательность «… хаотична. Это означает, что она сложно устроена и не может иметь разумного описания. Психологическому эксперименту, с которого мы начали, Колмогоров дал такое объяснение. Цепочка (I) потому воспринимается как случайная, что они сложна, её устройство нельзя коротко описать. А вот цепочки (II) и (III) имеют простое, легко описываемое устройство» [1].
Свойство № 2. Случайная последовательность «… типична. Это означает, что она принадлежит любому разумному большинству» [1].
Свойство № 3. Случайная последовательность «… непредсказуема. Это означает, что, играя против неё на деньги (т. е. пытаясь угадать члены последовательности и делая ставки), последовательность невозможно обыграть вне зависимости от разумности стратегии» [1].
Закончим этот образный список математических свойств, случайной последовательности, экспериментальным фактом, который, естественно был обнаружен не математиками (потому что математики в отличие от физиков эксперименты не ставят и никогда не проверяют экспериментом свои математические труды). Но этот обнаруженный экспериментальный факт математики очень выразительно назвали «частотоустойчивостью».
Свойство № 4 (экспериментальный факт). Случайная последовательность «…частотоустойчива. Вот что это означает для того простейшего случая, когда нули и единицы равновероятны: частота нулей, как и частота единиц, стремится к одной второй (частота нулей — это их доля в начальном отрезке последовательности). Но более того: в случайной последовательности указанная устойчивость частот выполняется не только для последовательности в целом, но и для любой её законной, разумной подпоследовательности» [1].
Очевидно, что из четырёх свойств первые три свойства чисто описательные и, поэтому, не математические.
Теперь, для того что бы всё таки дать ответ на вопрос «Что такое случайная бинарная последовательность» с математической точностью, введём несколько новых понятий, которые будут не так романтичны, как свойства 1 – 3, но которые позволяют ввести формулы, и описывать свойства последовательности с помощью формул.
Проводя свои эксперименты со случайными бинарными последовательностями, я заметил, что равенство сохраняется не только между числом единиц и нулей, но и между цепочками, которые образованы из выпавших подряд единиц и выпавших подряд нулей, смотри таблицу 1.
Обратите внимание, в таблице 1 цепочки в столбцах 2 и 4 выглядят симметрично относительно столбца 3. И эта симметрия не только позиционная, но и численная, численности нулевых и единичных цепочек равны. Запишем этот экспериментальный факт как свойство 5.
Свойство № 5 (экспериментальный факт). В случайных последовательностях численности цепочек одинаковой длины из нулей и из единиц равные количества (равенство справедливо с точностью до величин случайных флуктуаций).
Для численного равенства этих цепочек уже нельзя применять понятие: «частотоустойчивость», поскольку это понятие закреплено в математике за равенством друг другу всех нулей и единиц: «частота нулей, как и частота единиц, стремится к одной второй» [1]. Для обозначения равенства друг другу нулевых и единичных цепочек одинаковых длин, я ввёл понятие «Составного события».
Составными событиями называются неразрывные последовательности нулей и единиц, формула 1. Поскольку математическое обозначение составного события не поддерживается в интернете, то в этой статье составные события будем обозначать S(n).
Введём понятие «Полярных составных событий». Выпишем из фрагмента (I) все составные события образованные нулями, получим: «000»; «0»; «0»; «0»; «0000» . А затем, выпишем все составные события образованные единицами, получим: «1»; «1»; «111»; «1111»; «1». Поскольку события ноль «0» и «1», образующие последовательность, являются противоположностями, то образованные из нулей и единиц составные события как бы противоположны друг другу (имеют разную полярность). Поэтому, я им дал название – «Полярные составные события». И, на том основании, что полярные составные события симметричны (их численности равны друг другу), перепишем таблицу 1 в виде таблицы 2.
Чтобы не путаться в полярностях, воспользуемся свойством симметрии из физики (когда физики уменьшают разнообразие существующих частиц, объявляя некоторые их физические свойства не важными). Мы объявим, что для нас не важны сами величины «0» и «1» образующие полярные составные события, а важны только их численности в образуемых ими цепочках. То есть, мы не будем обращать внимание на нули «0» и единицы «1» в цепочках полярных событий, а будем обращать внимание только на количество этих нулей и единиц. Таким образом, мы по примеру физиков, упростили себе жизнь и уменьшили в два раза число фрагментов в случайной последовательности, введя понятие «Составного события». Составными событиями S(n) длины n будем называть сумму полярных составных событий одинаковых длин, пример:
Теперь проделаем операцию выделения из фрагмента случайной последовательности составных событий. Рассмотрим пример разбиения фрагмента на составные события на рисунке 1.
Теперь воспользуемся выгодами произведённого упрощения, и напишем очень простую формулу для расчёта составных событий S(n) в случайной последовательности, из N нулей и единиц, ф.1 [2]:
Где: n – число одинаковых элементарных событий; N - длина случайной последовательности.
Приведём пример расчёта по формуле 1 составных событий в случайной последовательности из двадцати миллионов N (подбрасываний монеты) и сравним теоретические и экспериментальные результаты на рисунке 2 .
Характеристика исследуемой последовательности:
- число элов в п-ти: N = 20 000 000;
- число нулей (частотоустойчивость): 9 999 751;
- число единиц (частотоустойчивость): 10 000 249;
- сумма всех составных событий S(n): 10 003 027;
- средняя длинна составного события: 20 000 000 / 10 003 027 = 2.
Рассчитаем по формуле 1 число составных событий «000» + «111» для n =3. Для этого по формуле 1 надо разделить N = 20 000 000 на два в степени четыре. Получаем, что численность составных событий длины, с последовательности из N = 20 000 000 элементарных событий, равно 1 250 000, смотри рисунок 2.
Рассчитаем по формуле 1 число составных событий «0» + «1» для n =1. Для этого разделим N = 20 000 000 на два в степени два, получим 5 000 000, смотри рисунок 2.
Согласно формуле 1, случайной последовательностью является такая пос-ть, в которой число всех нулей равно числу всех единиц (свойство 4, частотоустойчивость) и распределение составных событий (свойство 5, равенство цепочек из единиц и нулей) подчиняется формуле 1.
Согласитесь, что с таким определением случайной последовательности, основанным на формуле 1, уже можно количественно, предметно работать (проверять цифрой). А с этими математическими определениями: «хаотичная», «типичная», «непредсказуемая» можно только заниматься умствованиями.
Доказательство теоремы формулы 1 я дал в работах [2, 3]. Приведём несколько следствий из «Теорема «О амплитудно-частотной характеристике идеальной бинарной случайной последовательности»:
Следствие 1. Число составных событий в последовательности равно половине числу бросков монеты.
Следствие 2. Средняя длина составного события равна двум.
Следствие 2. Численность всех нечётных составных событий в случайной пос-ти больше численности всех чётных составных событий пос-ти (нечётные составные события встречаются чаще чем чётные, другими словами - вероятность выпадения нечётных составных событий больше, чем у чётных составных событий).
В математике есть понятия необходимости и достаточности. Что бы последовательность была случайна, необходимо, что бы распределение её составных событий определялось формулой 1. Если составные события сильно не соответствуют распределению по формуле 1, то такая последовательность не является случайной (в ней вероятность угадывания событий не будет равна 0,5).
То есть, распределение составных событий согласно формуле 1, ещё не достаточно, для того, что бы исследуемая последовательность была случайной. Давайте познакомимся с формулой 2, которая определяет такие численности составных событий и их группировку, наличие которых в последовательности однозначно говорит о том, что эта последовательность случайна:
Доказательство теоремы цуг, формула 2, дано в работе [4]. Формулы 1 и 2 были получены мной изначально при анализе экспериментальных данных, но потом, зная, что эти формулы нужно оформить в виде теорем, я опубликовал соответствующие доказательства. Порой, глядя на экспериментальные данные, гораздо проще найти формулу которая их описывает, чем вывести эту же неизвестную формулу логическим путём, из неизвестно каких предпосылок.
Формула 2 описывает численности цуг из составных событий в случайной последовательности. На рисунке 3 приведены примеры цуговых цепочек из составных событий.
Гистограмма распределения численностей цуг в случайной последовательности дана на рисунке 4.
Сравнивая гистограмму распределения составных событий (рисунок 2) и гистограмму распределения цуг из составных событий (рисунок 4) мы видим, что они различны. Для нас это различие означает, что если мы будим опираться на структуру составных событий, то мы будем иметь вероятность предсказания выпадения стороны монеты равную 0,5. А, если мы будем опираться на цуговую структуру случайной последовательности, то, по крайней мере, будем иметь разные вероятности выпадений серий одинаковой длины [5].
Знание цуговой структуру случайной последовательности позволяет дать чёткое, однозначное её определение, основанное на формуле 2. Надо особо ещё раз подчеркнуть, что в математике случайные последовательности имеют бесконечную длину, а моя формула 2 начинает работать на фрагментах длиной в тысячу и более «бросков монеты». В оценке вопросов, типа: «Бросил монету выпал орёл, что сейчас выпадет?» я согласен с математиками – это не вероятностная ситуация.
Цуговое определение случайной равновероятной бинарной последовательности. Случайной бинарной последовательностью называется такая последовательность, которая как сама, так и любой фрагмент которой, достаточной длины, имеет цуговые пропорции определяемые формулой 2, [4].
Согласитесь, что данное определение, основанное на формуле 2, можно однозначно применить на практике в отличие от таких математических определений, как [1]: случайная последовательность «… хаотична, она сложно устроена и не может иметь разумного описания»; случайная последовательность «… типична, она принадлежит любому разумному большинству»; случайная последовательность «… непредсказуема, играя против неё на деньги (т. е. пытаясь угадать члены последовательности и делая ставки), последовательность невозможно обыграть вне зависимости от разумности стратегии».
Литература.
1) Успенский В. А. «Четыре алгоритмических лица случайности» — 2-е изд., исправленное. — М.: МЦНМО, 2009. — 48 с. ISBN 978-5-94057-485-9
2) Филатов О. В., Филатов И.О. «Закономерность в выпадении монет – закон потоковой последовательности». Германия, Издательский Дом: LAPLAMBERT Academic Publishing, 2015, с. 268. https://yadi.sk/i/LsEWmhs3ArM7Tw
3) Филатов О. В., статья «Теорема «О амплитудно-частотной характеристике идеальной бинарной случайной последовательности», «Проблемы современной науки и образования», 2015 г., № 1 (31), с. 5 – 11; DOI: 10.20861/2304-2338-2014-31-001
4) Филатов О. В., статья «Доказательство теоремы: «Формула для цуг из составных событий, образующих случайную бинарную последовательность», «Проблемы современной науки и образования», № 20 (102), 2017 г. с. 6-12; DOI: 10.20861/2304-2338-2017-102-003
5) Другие важные ресурсы по интернет имени автора Олегвладфилат