Начнем с того, что отдельно гипотезу Пуанкаре не доказывали. Ее истинность следовала из решения одной задачи классификации, над которой работало много народа, а завершил решение Григорий Перельман.
Классификации очень важны, потому что приводят наши знания в систему, позволяют все расставить по полочкам. Вот, например, Менделеев сумел классифицировать все химические элементы -- расставил все по своим местам в таблице. Это было серьезное продвижение в химии. У таблицы Менделеева нет непосредственного бытового применения, на хлеб ее не намажешь; ее значение научное, а не бытовое.
В математике тоже все расставляют по полочкам -- конические сечения, замощения плоскости правильными многоугольниками, виды треугольников, функций, уравнений, тел вращения и т.п. Классификации есть и в других науках.
Теперь ближе к гипотезе.
Давайте посмотрим на "хорошие" двумерные поверхности ("хорошие" -- это компактные ориентируемые без края). Чтобы не объяснять эти трудные слова, я просто нарисую, чего НЕ должно быть:
Оказывается, все хорошие поверхности можно классифицировать: любая из них эквивалентна поверхности сферы, возможно, с несколькими ручками.
Все хорошие двумерные поверхности к чему-то такому приводятся, меняться может только число ручек. Этот результат известен с XIX века.
Аналог двумерных поверхностей -- трехмерные многообразия, их так просто уже не нарисуешь. Среди них есть и трехмерная сфера (это НЕ поверхность трехмерного шара). Гипотеза Пуанкаре о том, как характеризовать трехмерную сферу.
Уильям Тёрстон придумал способ классифицировать все трехмерные многообразия -- этот путь принято называть программой геометризации Тёрстона. Над ней работало много математиков, и последний этап завершил Григорий Перельман.
Тем самым удалось расклассифицировать все хорошие трехмерные многообразия. Гипотеза Пуанкаре как бы описывала одну ячейку этой классификации.
Как ни странно, многообразия более высоких размерностей были классифицированы еще раньше; так что математики как бы завершили создание "таблицы Менделеева" для хороших многообразий. В этой таблице нашлась клеточка и для 3-сферы, которую пытался характеризовать Пуанкаре.