Постулат Бертрана

Вы знаете, что между числами n и 2n есть простое число?

Французский математик Жозеф Луи Франсуа Бертран догадывался, что это так. И даже проверил "руками" до n=3000000. Но доказать не смог, обозвал это утверждение постулатом и использовал в своих работах. А доказал это утверждение в середине XIX века русский математик Пафнутий Львович Чебышёв. В середине XX века доказательство Чебышёва существенно упростил Поль Эрдёш.

Применим постулат Бертрана (теорему Чебышёва) к следующей задаче.

Перемножили все числа от 2^444+1 до 2^2101-1. Докажите, что это произведение не может быть квадратом натурального числа. (Здесь a^b означает то, что число a возвели в степень b.)

Итак, из постулата следует, что между 2^2100 и 2^2101 есть простое число. Последнее число является степенью двойки, поэтому оно составное, и его можно с чистой совестью отбросить.

Назовём это простое число p.

Заметим теперь, что произведение чисел из условия делится на p, но не делится на p^2. Действительно, чтобы простое число вошло хотя бы второй раз в произведение, нужно, что оно делилось на 2p. Но 2*2^2100=2^2101.

Ну, а раз число делится на p и не делится на p^2, то оно не является квадратом какого-то натурального числа!


Хорошо! Но что же делать, если постулатом пользоваться нельзя?
В таком случае нам поможет изучение вопроса, в какой степени в это "страшное" произведение входит двойка. Оказывается, что тоже в нечётной. Но это уже совсем другая история!