В прошлой статье я писала про переводы чисел из одной системы счисления в другую. Сегодня хочу написать немножко теории.
Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).
Системы счисления бывают:
- непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);
- позиционными (значение цифры зависит от позиции).
Непозиционные системы счисления
Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.
Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква
- I всегда означает единицу,
- буква - V пять,
- X - десять,
- L - пятьдесят,
- C - сто,
- D - пятьсот,
- M - тысячу и т.д.
Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным.
Позиционные системы счисления
Основание системы счисления — количество различных цифр, используемых в этой системе. Вес разряда — отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде .
pi = si,
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.
Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:
число 5 3 7 2 . 2 5
номера разрядов 3 2 1 0 -1 -2
Система счисления – очень сложное понятие. Оно включает в себя все законы, по которым числа записываются и читаются, а так же те, по которым производятся операции над ними.
Самое главное, что нужно знать о системе счисления – ее тип: аддитивная или мультипликативная. В первом типе каждая цифра имеет свое значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:
XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;
Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:
(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)
Здесь дважды использован иероглиф “2”, и в каждом случае он принимал разные значения “2000” и “20”.
2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425
Для аддитивной (“добавительной”) системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4-5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6).
Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления.
Основанием системы счисления называется количество цифр и символов, применяющихся для изображения числа. Например р=10.
Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.
База системы — это последовательность цифр, используемых для записи числа. Ни в одной системе нет цифры, равной основанию системы.
Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. “А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.
Подписывайтесь на мой канал
Ставьте лайки👍🏻
Оставляйте комментарии
Делитесь статьей в соц.сетях
Всем мира и добра🌺💐🌹