Приветствую Вас, уважаемые Читатели! С самого начала изучения математики мы учились находить площади фигур. На уроках геометрии вычисляли длину окружности, периметры треугольника, различных четырехугольников и многоугольников.
Но только совсем недавно, я заметил, что лишь одну геометрическую фигуру словно умышленно пропускали в школьном курсе с точки зрения нахождения периметра - эта фигура называется "эллипс". Оказывается, что именно эта непримечательная "сплюснутая окружность" стала камнем преткновения для математического анализа. Разберемся подробнее. Поехали!
Итак, эллипс - это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух точек плоскости, называемых фокусами, постоянна и больше расстояния между ними. Вот так выглядит анимация построения эллипса:
У эллипса куча замечательных свойств, интересных равенств, но мы всё-таки хотели узнать про его периметр. Напомню, что длину кривой на плоскости можно найти через интеграл. В случае с эллипсом удобно задать его в параметрической форме:
Интегральное выражения выглядит так:
Даже, если Вы совсем ничего не понимаете в интегралах, не берите в голову. Дальнейший ход мыслей Вам понравится. Подставляем уравнение эллипса в формулу длины:
Опустим некоторые дальнейшие преобразования, ведь данный интеграл выразить через элементарные функции НИКАК НЕЛЬЗЯ. Другими словами, интеграл - неберущийся, и найти его значение можно только численными методами, заведомо закладываясь на некоторую погрешность. Таким образом, точной формулы периметра эллипса в классическом понимании просто не может существовать!
А если надо ?
Конечно, с практической точки зрения нахождение периметра эллипса не представляет никаких трудностей. Одна из самых простых формул, дает максимальную погрешность в доли процента, вот она:
Модернизировал эту формулу наш старый знакомый индийский гений Сриниваса Рамануджан. Он вывел совсем уж огромные формулы (это был его стиль), так что приводить я их не буду. Другие попытки найти наиболее приближенную формулу нахождения периметра эллипса, как легко догадаться, уводят в бесконечные ряды.
Спасибо за внимание! На одно белое пятно в школьной математике стало меньше!