В этой статье я разберу задач, в которых возникают две пересекающиеся окружности. Окружности обычно дарят много равных углов — вписанные, опирающиеся на одну дугу, угол между касательной и хордой, стягивающей эту дугу. Эти равные углы и приводят к решению задачи.
Первая задача
В треугольнике ABC провели касательную к описанной окружности в точке B. Из точки D на этой касательной опустили перпендикуляры DE и DF на прямые AB и CB. Докажите, что EF перпендикулярно AC.
Решение
Два прямых угла сразу говорят о существовании окружности вокруг четырехугольника BEDF.
Теперь посмотрим на углы. Желтые равны благодаря одной окружности, а красные — благодаря другой.
Из треугольника BFD видно, что желтый и красный углы в сумме равны 90°. Значит, в треугольнике AEG угол G прямой.
Вторую задачу я перенесла в отдельную статью