Выношу сюда еще один свой ответ (подправленный) с проекта Яндекс.Знатоки
1. Корней с Матвеем на круглом острове
Корней с Матвеем живут на круглом острове, и хотят построить на берегу пристань так, чтобы сумма расстояний от их домиков до пристани была наименьшей. Где построить пристань?
Это задача Степана Нечипоренко из группы Незадача дня. Она похожа на известную задачу, в которой Корней с Матвеем живут на полуплоскости, но гораздо труднее.
2. Треугольный Бильярд
Возьмем бильярд в форме остроугольного треугольника
Проведем высоты в треугольнике и соединим основания этих высот: получится красный треугольник, его называют ортотреугольником. Высоты синего треугольника – это биссектрисы красного. Поэтому если запустить бильярдный шар по красной траектории, он так и будет кататься по ней по закону «угол падения равен углу отражения». Такую траекторию называют периодической.
Как построить периодическую бильярдную траекторию в тупоугольном треугольнике?
3. Многоугольный бильярд.
Эта задача хоть и про бильярд тоже, но проще ее формулировать как задачу про освещение области, ведь луч света отражается по тем же правилам, что бильярдный шар. Представим себе бильярд с зеркальными стенками. Можно ли его осветить одним точечным источником света? Если он выпуклый, то, конечно, можно, причем из любой точки.
Роджер Пенроуз придумал область, напоминающую по форме эллипс с двумя вырезанными грибовидными кусками, которую нельзя осветить одним источником света, обязательно останутся неосвещенные места, куда источник ни помести.
Задача Эрнста Штрауса:
Построить многоугольный бильярд, который нельзя осветить ни из одной точки.
4. Замощение двухэтажного параллелепипеда.
Возьмем параллелепипед высотой 2 и с основанием mхn. Попробуем замостить его "доминошками" — столбиками в два маленьких кубика. Столбики можно ставить стоя, а можно класть на бочок (двумя способами, вдоль короткой стороны основания или вдоль длинной). Сколькими способами это можно сделать?
5. Про фальшивые монеты.
Задачи про фальшивые монеты давно стали фольклором и вошли в золотой фонд занимательной математики.
Но их ценность не только в занимательности, многие из этих задач вводят в круг серьезных тем, вполне современных. Вот знаменитая задача, поставленная П. Эрдёшем и А. Реньи ещё в 1963 году:
Имеется N монет, некоторые из них правильные и весят по 10г, а остальные фальшивые, весом по 9г. За какое наименьшее число взвешиваний на одночашечных весах со стрелкой можно определить все фальшивые монеты?
6. Жизненная задача
Про игру "Жизнь", придуманную Конвеем, все слышали. В ней всего два простых правила, однако они не только дают множество "залипательных" конструкций для развлечения, но дают пищу для размышления серьёзным учёным.
Игра проходит на бумаге в клеточку. Каждая клетка может быть или живой (закрашенной) или мертвой (белой). У каждой клетки есть 8 соседей. На первом шаге есть несколько живых клеток. Затем на каждом шаге
- в пустой (мёртвой) клетке, рядом с которой ровно три живые клетки, зарождается жизнь;
- если у живой клетки есть две или три живые соседки, то эта клетка продолжает жить; в противном случае, если соседей меньше двух или больше трёх, клетка умирает («от одиночества» или «от перенаселённости»)
Эти два простых правила определяют, как по данной конфигурации получить конфигурацию на следующем шаге.
Задача:
как по данной конфигурации получить конфигурацию, что была на предыдущем шаге?
7. Гауссовы простые числа.
Представьте себе числовой луч с натуральными числами, на котором простые числа отмечены кирпичиками. Разрешается прыгать по кирпичикам прыжками ограниченной длины. Можно ли ускакать от нуля бесконечно далеко? Нет, не получится. На числовом луче участки из одних составных чисел могут быть сколь угодно большими: достаточно рассматривать участки от N!+2 до N!+N.
Теперь возьмем плоскость гауссовых целых чисел. Это числа вида m+ni, где m и n натуральные, а i - мнимая единица. Гауссовы целые тоже бывают составными и простыми. Например, 2 — гауссово составное число, потому что раскладывается в произведение простых гауссовых множителей: 2=(1+i)(1-i). На картинке гауссовы простые отмечены "кирпичиками".
Можно ли по кирпичикам ускакать сколь угодно далеко, если длина прыжка ограничена?
8. Ханойские башни.
Задача о Ханойских башнях открывает двери в разные области математики, она хорошо известна:
На одном из трех стержней нанизаны диски разных радиусов, чем меньше диск, тем выше он расположен. Требуется перенести диски на другой стержень по одному, причём нельзя класть большее кольцо на меньшее. Зато можно пользоваться вспомогательным — третьим —стержнем.
А что если общее число стержней не 3, а N>4?
Сколько ходов потребуется, чтобы перенести N дисков с одного стержня на другой, пользуясь (N-2) промежуточными стержнями?
9. Червяк Мозера
Эту задачу поставил Лео Мозер:
найти область наименьшей площади, которая может включить любую плоскую кривую длины 1. "Включить" значит, что кривую можно поворачивать прежде чем засовывать в область.
10. Муравей Лэнгтона
Возьмем лист бумаги в клеточку. В одной из клеточек находится «муравей», который на каждом шаге двигается в клетку, соседнюю по стороне по таким правилам:
На чёрном квадрате — повернуть на 90° влево, изменить цвет квадрата на белый, сделать шаг вперед на следующую клетку.
На белом квадрате — повернуть на 90° вправо, изменить цвет квадрата на чёрный, сделать шаг вперед на следующую клетку.
Если изначально все клетки были белые, то муравей уйдет за пределы листа бумаги, как бы велик тот ни был. Задача:
Придумать такую раскраску листа бумаги, что муравей не сможет выйти за его пределы.
Муравей Лэнгтона породил целое семейство тьюрмитов. Это название напоминает о машине Тьюринга и о насекомых-клеточных автоматах. У других тьюрмитов может быть больше красок, или они могут сбиваться в стаи, или их мир изначально может быть и не белым.
Интересно было бы посмотреть на поползновения муравья Лэнгтона на треугольной решетке, но я такого не видала
Еще трудные задачки:
