Коротко: нет, не провоцирует.
При бритье срезается лишь ороговевшая часть волоса, а изменение его структуры зависит от факторов, способных повлиять на волосяную луковицу — улучшить ее питание за счет, например, локального нагрева кожи, ускоряющего местную циркуляцию крови, или в результате действия специальных химических веществ (гормонов или, например, миноксидила).
Миф возник на основе визуального наблюдения. В норме стержень волоса имеет форму конуса, да еще солнце подсушивает и обесцвечивает его вершину. Вскоре после сбривания во́лос вновь показывается на поверхности кожи — только теперь это не конус, а цилиндр того цвета, какой присущ вашим волосам за вычетом действия окружающей среды. Если теперь волосы не трогать, то постепенно они начнут выцветать, выпадать, в конце концов, спустя один цикл роста волос все вернется на круги своя.
Во всяком случае, если нет стимуляции гормонами — естественной (подростковый возраст, беременность, менопауза) или патологической (синдром поликистозных яичников, болезнь Кушинга, гипотиреоз, гиперпролактинемия и т.д.)
Большинство из нас узнаю́т о том, как бритье влияет на рост волос, когда впервые сталкиваются с волосами на теле — во время пубертата. В этом возрасте под влиянием гормонов пушковые волосы начинают грубеть и темнеть, поэтому каждая новая поросль растет чуть гуще и темнее прежней с бритвой или без нее. Мне кажется, что байка с влиянием бритья на рост волос призвана побудить юношей избавляться от своей пока что негустой и неопрятной бороденки, а девушек — меньше оголяться. Среди моих сверстников это не очень работало, но миф жив. Наверное, проще поверить в действие бритвы, чем принять тот факт, что у тебя много волос от природы.