Математика. Матрицы. Определитель (детерминант).

Приветствую всех. Сегодня мы познакомимся с понятием определителя матрицы. Узнаем что это, где он нам пригодится в дальнейшем и как его вычислить. Материал сам по себе достаточно необычный, но не особо сложный.

Определитель (детерминант) - основное понятие в теории линейной алгебры, используется для определения свойств матрицы.

Самое главное - определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (количество строк равняется количеству столбцов). Чаще всего используют это понятие в решении "систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)", с которыми мы познакомимся в дальнейшем. А так же для характеристики СЛАУ и нахождения обратной матрицы, и много где ещё.

Вычисление определителя.

(1Х1)

Первым делом познакомимся с определителем первого порядка, точнее матрица один на один (1Х1).

Рассмотрели, что бы было. Это тоже нужно знать.

(2Х2)

Определитель второго порядка вычисляется по простому правилу. Произведение элементов главной диагонали минус произведение побочной.

Затруднений быть не должно, всё предельно просто.

(3Х3)

Методов нахождения определителя матрицы третьего порядка существует несколько, самых известных и наиболее часто используемых всего два, это:

• Правило треугольника
• Разложение по строке или столбцу

Правило (метод) треугольника.

Самый простой из всех трёх методов и одновременно с этим один из самых запутанных. Запутанный потому что могут возникать трудности при устном счёте.

Отсюда видно, что вычислений будет достаточно.

Проиллюстрируем на картинке.

Первый определитель соответствует первой скобке, второй определитель, второй скобке. Цветными линиями показаны элементы которые перемножаются, как видно из первого определителя, там все вычисления делаются относительно главной диагонали, во втором, относительно побочной диагонали.

Разложение по строке или столбцу.

Используется довольно редко, хоть и подходит для вычисления определителей любого порядка. Этот, как никакой другой, требует внимательности и понимания. Все вычисления как правило опираются на понятия алгебраического дополнения и минора. Пока что торопить события не будем, разберёмся с этими понятиями на практике, а сейчас попробуем разобраться без них. Для примера сделаем разложение по первой строке и запишем всё в общем виде.

Вот так должно быть выполнено в тетрадке, если просят всё расписать.

Небольшие пояснения. Мы сделали разложение по первой строке, следовательно мы будем вычёркивать подобным образом последовательно все элементы находящиеся в строчке от а11, до а13. Элементы находящийся на пересечении мы умножаем на получившуюся матрицу (2Х2). Минус единица в степени (i+j) записывается ВСЕГДА.

Таким образом мы имеем право делать разложение по любой строке или любому столбцу. Данный метод нас подводит к частным случаям упрощённого решения определителей.

На сегодня теории достаточно, в следующий раз будем заниматься практикой. Оставляйте свои комментарии. Спасибо за внимание.

Другие темы:

• Матрицы. "Арифметические действия".
• Матрицы. Введение.
• Комплексные числа.