В одной из статей, мы с Вами уже рассматривали производную функции. Сегодня задача ознакомиться с интегралом функции и понять его физический смысл. Прежде всего отмечу. что это интегрирование - процесс обратный извлечению производной. То есть, если Вы взяли производную от функции X, то взяв полученный результат - проинтегрируете его, снова получить Х. Есть, конечно, определенные детали, но сейчас их не берем во внимание. Так если Вы интегрируете скорость, то получите пройденное расстояние, Если интегрируете мощность, то получите работу, и так далее. А теперь ближе к физическому смыслу.
Пример:Вы едете на велосипеде и у Вас постоянная скорость, 20 км/ч, то за два часа Вы пройдете расстояние в 40 км. Вы просто умножили скорость на время и получили значение. Тут все очевидно, а теперь предположим, что вы едете, по разнородной местности, где есть подъемы, спуски, есть места, где нужно идти пешком. Тогда на всем участке у Вас скорость будет разная, значит формула S=V*t уже не работает. Как в этом случае быть, да очень просто.
Если посмотреть, на второй график, то видим, что подсчитать в данном случае площадь фигуры намного сложнее, но тоже возможно. Когда скорость постоянна, мы можем легко этот вопрос решить, а когда скорость переменная, то необходимо применять разные варианты.
На третьем рисунке, мы разбили функцию всей скорости, на разные участки, приближенные к прямой. Если рассмотреть самый первый участок, то скорость там постоянна, значит площадь ограниченной сверху этим участком подсчитать мы можем. Далее наклонная прямая вверх, при желании тоже легко позволяет найти площадь. и так далее.На тех участках, где у нас гладкие функции, например, парабола или экспонента, мы дробим на большее количество участков.
Небольшое замечание, если взять первый постоянный отрезок скорости и разбить его на 100 других отрезков, и подсчитать площадь каждого, а после суммировать, то общая площадь и сумма площадей каждого из них будут равны. То есть в данном случае под интегрированием понимается процесс дробления на участки и суммирования их площадей. А теперь если взять например 6 участок и разбить его на 100 частей, то вместо общей гладкой функции мы получим 100 маленьких отрезков, каждый из которых будет ограничен сверху по сути прямой. Далее подсчитать площадь такого участка проще и мы считаем, площадь каждого участка и суммируем их вместе, получив достаточно точный результат. Чем больше точность нужна, тем больше делаем число разбиений на участки.
Таким образом, глядя на рисунки, видим, что увеличивая число отрезков, мы снижаем погрешность, и независимо от функции приближаемся к точному значению пройденного расстояния. Если число отрезков устремить к бесконечному, то получим точную функцию интегрирования, по которой можем точно подсчитать значение площади. При этом помним, что поиск производной функции - это обратный процесс интегрированию функции. А теперь еще раз к смыслу интегрирования. Если у нас есть сложная функция, то мы берем интеграл от этой функции (дробим на бесконечное число отрезков) и находим площадь каждого отрезка, и после этого суммируем все площади. Возникает вопрос, а как нам найти конкретные значения в данной точке, а очень просто, у нас же есть функция по времени, например V=7t*t+24t+7. В каждый момент времени мы находим значение V и считаем площадь, в итоге получается найти площади всех маленьких участков..
Отмечу сразу, что данная методика дробления или преобразования в удобные функции часто используется, когда мы не знаем точную входную функцию, мы описываем её в виде подходящей функции с заданной точностью и оперируем с ней. Опять же в виде матрицы или полинома. А после интегрируем полином или производную.
Итак, подводим итог не простой темы. Процесс интегрирования - это процесс дробления функции через который мы можем найти точную площадь каждого участка, а значит и всей функции на данном участке. Если мы будем интегрировать функцию скорости по времени, то получим пройденное расстояние, если будем интегрировать ускорение по времени, то площадью будет текущая скорость. Если будем интегрировать скорость слива воды с емкости, то проинтегрировав - получим вылитый объем в единица времени. Если будем интегрировать мощность затраченную за время. получим совершенную работу.
Отмечу, тема не простая, если есть вопросы - пишите. Без таких тем в регулирование даже не стоит суваться, даже простое.
Если Вам понравилась публикация, подписывайтесь на канал, за Ваши лайки чаще показывают Наши публикации.
Для поиска публикаций через поисковые системы, просто вводите слово Вивитроника.
Свои комментарии можете предлагать в группе вконтакте,
Если есть вопросы или по желания, то пишите, через Обратную связь.
Канал телеграм.
