Изложить азы логики по-простому, понятно для заочников-гуманитариев, меня натолкнула книжка :
Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику . — М.: Изд-во Моск, ун-та,, 1982. — 120 с.
В этой книге очень сжато, ясно и толково изложена суть логики Аристотеля.
Но, кроме этой книги, я использовал хорошо известные диаграммы Эйлера-Вьенна.
Примечание. Любой объект можно представить словом, буквы которого означают его свойства. Любое высказывания о наличии свойства у множества объектов можно представить, как высказывания о наличии буквы у множества слов. Любой набор свойств для краткости можно обозначить одной буквой.
Аристотель ввёл следующие типы суждений:
A (М,P ) общеутвердительное: все М есть Р. (Все слова, имеющие букву М имеют и букву P ).
Иначе: все предметы, обладающие свойством М, обладают свойством Р.
E (М,P )общеотрицательное: все М есть не-Р (Все слова, имеющие букву М, не имеют букву P )
Общеутвердительное и общеотрицательное утверждения являются категоричными: Все объекты обладают, или все не обладают, и баста.
I (М,P ) частноутвердительное: некоторые М есть Р. (Некоторые, но возможно, что и все! )
О(М, P ) частноотрицательное: некоторые М есть не-Р. ( некоторые, но возможно, что и все, S не имеют букву Р).
С помощью диаграмм Эйлера-Вьенна типы суждений можно изобразить так:
Как видим, некатегоричным суждениям соответствуют по три разные картинки, описывающие взаиморасположение множеств. То есть, некатегоричные высказывания содержат неопределенность во взаиморасположении множеств. В них свойства множества Р переносятся(или не переносятся) на множество S ( или его часть).
Умозаключения Аристотель называл силлогизмами. Силлогизмы состоят из суждений. Суждения входят в силлогизмы по правилам, которые Аристотель назвал модусами, или фигурами силлогизма. Современное название модусов – правила вывода.
Назначение силлогизмов становится понятным, если вспомнить, что свойства предметов могут быть как очевидными(признаки), так и скрытыми.
Фигура силлогизма описывает перенос свойств с P (prima , predicat ) на S (secunda , subject ), используя посредника М (medium ). Посредник имеет связи (общие свойства) и с первым, и со вторым. Чаще всего Р – скрытое свойство, о наличии которого у субъекта S мы и желаем выяснить. Целесообразно полагать, что М описывает очевидное свойство, про связь которого со скрытым свойство что-то известно.
Суть: мы знаем о взаиморасположении множеств Р и М, а также М и S , а о взаиморасположении множеств S и Р высказываем суждение.
Фигуры(модусы) у Аристотеля имеют вид:
1-я фигура 2-я фигура 3-я фигура 4-я фигура
● ( М, Р) ● (P,M) ● ( М, Р) ● (P,M)
● (S,M) ● (S,M) ● (M,S) ●(M,S)
● (S,P) ● (S,P) ● (S,P) ● (S,P)
Примечание . На картинках, соответствующих фигурам, первое множество рисуем слева.
Когда вместо черных точек подставляем буквы A , E , I , O , получаем силлогизмы. Они называются модусы по соответствующей фигуре .
Важно! Они могут быть правильные или неправильные. Например, при любой фигуре ЕЕЕ – неправильный силлогизм.
Правильные силлогизмы 1-й фигуры: AAA , EAE , A I I , E I O .
Их говорящие названия: bArbArA , cE l ArEnt , dArI I , fErIO .
Правильные силлогизмы 2-й фигуры: EAE , AEE , E I O , AOO .
Их говорящие названия: cEsArE, cAmEstrEs, fEstInO, bArOcO.
Правильные силлогизмы 3- й фигуры: A I I, E I O, IAI, OAO, AAI, EAO.
Их говорящие названия: dAtIstI, fErIsO, dIsAmIs, bOcAdO, dArAptI, fE l AptOn.
Правильные силлогизмы 4-й фигуры: AEE , E I O , IAI , AAI , EAO .
Их говорящие названия: cA l EmEs, frEsIsOn, dImAtIs, bAmA l Ip, fEsApO.
Категоричные силлогизмы оканчиваются на A или Е. Они промаркированы у меня зеленой буквой.
Говорящие названия придумали средневековые логики задолго до появления диаграмм Эйлера-Вьенна. Это хитрость вроде той, когда решение квадратного уравнения записывалось стихами, за неимением алгебраической нотации!
С использованием диаграмм всякий силлогизм выглядит как три множества, нарисованные внутри прямоугольника. С применением картинок слово «фигура» получает геометрическое звучание: множества могут пересекаться, не пересекаться и быть вложены друг в друга.
Всего правильных силлогизмов, как удалось установить схоластам-почитателям Аристотеля за 20(!) веков, – 19 штук.
Правильных категоричных всего пять!
Примечание. Однако EAE по первой фигуре и EAE по второй фигуре – это одно и то же!! И АЕЕ по второй фигуре и по четвертой фигуре – тоже равносильны!! Просто левая и правая часть картинки поменялись местами. Но древние не умели рисовать такие картинки, которые придумал Эйлер в 18 веке, поэтому не заметили этого.
Итак, с точки зрения теории множеств, остаётся только три различных категоричных силлогизма. С их помощью можно определённо судить: ядовитый гриб или не ядовитый, убийца человек или нет, и проч. Это ААА, АЕЕ, ЕАЕ. Приведу картинки для них:
Интерпретация, например, ААА:
Все посредники М обладают свойством Р(содержат букву Р)
Все субъекты обладают свойством М (содержат букву М). Вывод: все субъекты обладают свойством Р(содержат букву Р).
Какую пользу может извлечь современный человек из сказанного:
1.Когда принимаете важное решение на основе логических рассуждений, не поленитесь нарисовать теоретико-множественную картинку. Теоретико-множественные картинки делают все мудрёные средневековые разглагольствования очевидными!
2. Вся игра идёт на удачном подборе множества-посредника М. Сумели подобрать М с категорично установленным его взаиморасположением со множествами Р и S , значит, можем категорически судить о наличии или отсутствии у S интересующих нас свойств множества Р.
3. некатегоричные силлогизмы побуждают уточнять понятия (геометрически уточнению понятий соответствует уточнение границ множеств), чтобы уменьшить неопределённость и перейти к категоричным умозаключениям. Иногда некатегоричные силлогизмы позволяют нам что-то сказать о вероятностях, а иногда – нет. Но они всегда помогают составить наводящие вопросы по поводу границ множеств (понятий)! Всё искусство логики состоит в умении от некатегорических выводов переходить к категорическим.
4. Диаграммы Эйлера-Вьенна показывают: ошибка может прятаться в том, что мы неверно определили взаиморасположения множеств S , Р и М, то есть границы понятий. Практика показывает: именно такие ошибки чаще всего и бывают!
Кстати, очень помогает логическим выводам также и рисование «дерева решений». Но это уже иной уровень, и об этом – по заказам читателей.
