В восьмом классе при изучении квадратного корня проходят методы приблизительного его вычисления. Один из методов - метод, который придумали в Древнем Вавилоне.
Если необходимо вычислить √x, то x надо представить в виде x=a²+b так, что a² максимально близко к x, но меньше него.
Тогда √x ≈ a + b/2a
Откуда взялась такая формула? Давайте рассмотрим следующий пример.
Представим x в виде квадрата суммы x = (a + c)², где a - то же самое число, что и в первом случае. Тогда c<1. Это следует из того, что если бы с было >1, то можно было бы в качестве квадрата брать не a, но (a+1). Это означало бы, что мы неправильно взяли a для разложения числа.
Другим образом это доказывается так, что а математически определяется как целая часть от √x (если бы мы могли его вычислить). Именно в этом случае a максимальное целое, которое в квадрате меньше x.
Итак, мы двумя разными способами представили x
1) x = a² + b 2) x = (a + c)²
При этом a и b - целые числа, а вот c некая величина, которую и необходимо найти хотя бы примерно. Тогда мы сможем примерно вычислить √x = a + c
Начнем решать уравнение a² + b = (a + c)² => a² + b = a² + 2ac + c² => b = 2ac + c²
И вот теперь наступает время приблизительных вычислений. Вспомним, что c<1 (но c>0). Тогда c² тоже не больше единицы. И мы можем либо отбросить его, либо сказать, что c² ≈ c.
И действительно, если с = 0,9, то c² = 0,81 Есть приблизительное равенство.
А если c = 0,1, то c² = 0,01 - скорее ближе к нулю, и есть соблазн им пренебречь.
Вот древние вавилоняне и пренебрегли им. В итоге получили формулу b ≈ 2ac => c ≈ b/2a. А так как √x = a + c, то √x ≈ a + b/2a
Но можно эту формулу модифицировать, если не отбрасывать c², а заменить ее на c.
Тогда b = 2ac + c => b = (2a+1)c => c = b/(2a+1)
И тогда √x ≈ a + b/(2a + 1)
Какая из этих двух формул более точная, сказать сложно. Это вопрос статистических исследований. Но мы с вами разобрались - откуда взялась древневавилонская формула приблизительного вычисления арифметического квадратного корня.
