Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам про еще одну удивительную кривую линию - циклоиду. Её изучали Галилей и Торричелли, Декарт и Ферма, Ньютон и Лейбниц, и все находили в ней вдохновение и красоту.
Эта обычная, казалось бы, кривая линия стала одним из "точильных камней", зарождавшегося в 18 веке математического анализа. Обладая множеством интересных свойств, циклоида широко применяется в науке и технике. Узнаем подробнее. Поехали!
Что такое циклоида ?
На самом деле, когда математики позднего средневековья начали изучать циклоиду, то были немного сокрушены тем фактом, что их предшественники не замечали лежащую буквально под их ногами замечательную кривую (об этом писал, в частности, Блез Паскаль).
Действительно, ведь циклоиду видел абсолютно каждый из Вас: это всего лишь траектория движения точки катящегося колеса! Смотрите:
Описывается циклоида достаточно сложным уравнением (размещу его здесь, но дальше сложной математики не будет):
В школьном курсе математики привычная запись функции имеет вид y= f(x) (или наоборот). Более важно то, что под f(x) чаще всего понимается многочлен, т.е. конструкция, в которой есть операции умножения, сложения, вычитания и возведения в степень (в т.ч. в виде извлечения корня).
Так вот, циклоида является первой из исследованных математиками кривых, которая не может быть записана в виде многочлена (привет, арккосинус!). Такие кривые называют трансцендентными, в отличие от более простых алгебраических.
Впервые циклоиду заметили в начале 16 века, но современное название этой кривой дал Галилео Галилей. Он же экспериментально открыл тот факт, что каждая "арка" циклоиды по площади втрое больше исходного "колеса". Но есть другое свойство циклоиды, еще более удивительное!
Таутохронность циклоиды
Это свойство заключается в том, что одно и то же тело, помещенное в любую точку перевернутой циклоиды достигнет конечной точки за одинаковое время. Вот так это происходит:
Кроме того, перевернутая циклоида называется кривой скорейшего спуска или брахистохроной.
Есть еще и вот такое наглядное доказательство с маятником:
Циклоида широко применяется в самых неожиданных местах. Например, рампы для скейтбордистов выполняются именно в такой форме, чтобы увеличить максимальные скорости спортсменов. Рассматриваются возможности применения циклоидальных траекторий в космических перелетах, что позволит очень сильно снизить необходимую массу корабля, за счет большой инерции, получаемой при полете по такой кривой.
Рассказ про применение циклоид в технике будет неполным без упоминания эпициклоид и гипоциклоид и их разновидностей. Но эту историю, с Вашего позволения, я расскажу позже. Спасибо за внимание!
Пока что предлагаю ознакомиться с моим материалом про три очень красивых и важных графика функций.
Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.