Недавно мы разобрали вывод законов Кеплера из закона Всемирного тяготения (точнее, из вида потенциала Ньютона). А теперь давайте обсудим сами законы и что из них можно извлечь.
Первое. Законы Кеплера справедливы для системы двух тел, причем одно существенно тяжелее другого, так что его можно считать неподвижным. Это важно: если тел больше и они все взаимодействуют, законы Кеплера не выполняются. Это объясняет "хитренькие" вопросы типа "А почему Луна нарушает законы Кеплера". В системе трех тел сравнимой массы возможно вообще всё, движение может быть хаотичным. Если же одно тело тяжелее другого, а то тяжелее третьего, законы Кеплера справедливы приближенно и можно использовать теорию возмущений: посчитать динамику тел независимо, потом учесть перекрестные влияния, потом влияние этих поправок, и так далее.
Здесь совершенно не важно, кто сильнее притягивает! Важно лишь малость перекрестных влияний. Например, в системе Солнце-Земля-Луна можно с хорошей точностью анализировать подсистему Земля-Луна, поттому что они вместе вращаются вокург Солнца (подсистема Солнце-Земля+Луна), а потом учесть перекрестные эффекты, которые хоть и малы, но весьма заметны.
Законы таковы:
- Тело вращается вокруг более массивного небесного тела по эллиптической орбите, причем массивное тело находится в одном из фокусов
- Радиус-вектор тела заметает за равные интервалы времени равные площади: это закон сохранения момента вращения.
- Квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей
Давайте вспомним, что такое эллипс и какие понятия с ним связаны. Эллипс — это множество точек, сумма расстояний от каждой до двух фиксированных точек-фокусов одна и та же. Если ближе к одному фокусу, то дальше от другого. Эллипс симметричен, центр симметрии называется центром эллипса. Самый длинный отрезок от центра до точки эллипса называется большая полуось a, самый короткий — малая b. Если фокусы совпадают, получается окружность: у нее полуоси равны.
Существенно, что, согласно третьему закону, период обращения небесного тела вокруг другого, более тяжелого, зависит только от большой полуоси, а от малой (и потому от эксцентриситета) не зависит.
Теперь первый закон должен быть совершенно ясен. Для данной планеты/кометы/спутника параметры эллипса определяются положением и скоростью в какой-то момент времени.
Теперь второй закон. Радиус-вектор — это отрезок, соединяющий начало отсчета (Солнце в нашем случае) и подвижную планету. Планета движется по орбите и радиус-вектор движется тоже. Если мы рассмотрим два положения планеты, то закрашенная область называется заметенной. По второму закону площадь этой области одна и та же для равных промежутков времени.
Как я уже сказал, это сохранение момента импульса (момент вращения). В самом деле, скорость изменения полярного угла — это угловая скорость. Обычная линейная скорость получается из угловой умножением на расстояние r: чем дальше от оси вращения, тем быстрее. Момент импульса, если попроще, это произведение импульса на это расстояние. А импульс — это скорость на массу, а масса постоянна. Таким образом, постоянство момента и означает, что площадь прирастает с постоянной скоростью.
Центростремительное ускорение — это квадрат угловой скорости, умноженный на радиус-вектор. Если упрощенно.
А теперь проследим, как можно было наоборот, как оно и было в истории. Подробно тема раскрыта в статье в журнале Квант, а я покажу лишь сам вывод, более математично, но без исторических отступлений. Все-таки мы много уже знаем и можем спрямить путь.
Итак, у нас есть три закона Кеплера для системы двух тел.
Заметим, что третий закон выводится из первых двух.
В общем-то, можно вывести эти законы из законов Ньютона и формулы для потенциала, и это сильный аргумент в пользу этой формулы для потенциала. А можно взять этот вывод и пройти его в обратную сторону.
Мы выберем некоторый промежуточный вариант.
Для начала, поместим начало отсчета на Солнце и возьмем радиус-вектор планеты в декартовых координатах: (x,y). Его вторая производная по времени — это ускорение. Запишем его в полярных координатах через расстояние до Солнца r и угол f: (rcos(f), rsin(f)). И расстояние r, и угол f зависят от времени. Найдем вторую производную этих компонент x и y от времени; это немного громоздко:
Теперь применим второй закон, согласно которому производная угла (f с точкой) обратно пропорциональна r² (коэффициент обозначим C):
Мы заменили производные угла на r по формуле второго закона. Предлагаю вам с удовольствием убедиться, что синус в первой строчке и косинус во второй сокращаются. В итоге ускорение имеет вид
Здесь важно то, что вектор ускорения коллинеарен радиус-вектору (на самом деле он ему противонаправлен). Иными словами, сила направлена К Солнцу: не вдоль орбиты, не вбок, а только к Солнцу. Это очень важный вывод, ключевой.
Далее все просто. Согласно третьему закону, период не зависит от малой полуоси, а только от большой. Поэтому нет разницы, какова малая ось. Можно взять ее равной большой. Тогда центростремительное ускорение (а гравитация создает только его, мы выяснили) есть квадрат угловой скорости, умноженной на большую полуось. Угловая скорость обратно пропорциональна периоду: ведь период это время на один оборот, а угловая скорость это число оборотов за единицу времени. Период в квадрате пропорционален полуоси в кубе: третий закон. Значит, угловая скорость в квадрате обратно пропорциональна полуоси в кубе. А ускорение тогда обратно пропорционально квадрату полуоси, которая есть расстояние до Солнца. Вот и закон обратных квадратов.
Вот так вот просто всё, если знаешь уже ответ.
Если вы, друзья, не можете воспроизвести эти выкладки в ту или обратную сторону, я бы не советовал увлекаться критикой ОТО. Каждый сам решает, чем ему заниматься, но мой дружеский совет именно таков.