Как известно, в истории было наоборот. Сначала Кеплер по накопленным Тихо Браге данным наблюдений сформулировал свои три закона, а потом Ньютон предложил ЗВТ, из которого эти законы выводились как следствие. Давайте попробуем это проделать. Это не очень сложно, но и не так чтобы совсем просто. Не уверен, что средний студент или выпускник физмата легко с этой задачей справится, даже зная, к чему стремиться. А Ньютон не знал.
У нас будет две материальные точки: условное Солнце S и некоторая планета P. Причем Солнце намного массивнее и считается неподвижным. У планеты есть некоторая начальная скорость и она находится на некотором начальном расстоянии от Солнца.
Для начала заметим, что вся орбита будет лежать в одной плоскости: в той, в которой лежат вектор PS и вектор начальной скорости планеты. Ведь ускорение направлено вдоль вектора PS и, следовательно, скорость за бесконечно малое время dt изменится на вектор dv, который лежит в той же плоскости. А значит, скорость все время будет лежать в этой плоскости.
Это позволяет свести задачу к двумерной. Поместим начало координат в точку S и обозначим переменное расстояние SP через r. Угол между вектором SP и осью абсцисс обозначим f.
Потенциал имеет вид GM/r, где G — гравитационная постоянная, а M — масса Солнца. Тогда получаем систему уравнений
Теперь перейдем в полярные координаты:
Это будет немного громоздко, но делается. Придем к следующим уравнениям:
Умножим первое уравнение на синус, второу на косинус, и сложим:
А если наоборот, то придем к уравнению
Изучим первое из этих уравнений. В нем разделяются переменные и оно легко сводится к легко интегрируемому:
Обозначим константу через C.
Слева стоит площадь сектора, выделенная на рисунке. Это площадь, заметаемая радиус-вектором за время dt. Ну и мы получили один из законов Кеплера: площадь эта постоянна для различных dt.
Эта площадь имеет смысл момента вращения: он сохраняется.
Теперь возьмем второе уравнение и избавимся в нем от f, используя полученный результат:
Нас интересует орбита, а не траектория, поэтому нам надо заменить независимую переменную (время) на угол f. Производная по t равна производной по f, умноженной на производую f по t, которую мы можем выразить через r.
Приходим к уравнению
Теперь удобно сделать замену r=1/s:
s''=K - s.
Здесь K=-GM/C² - новая константа.
Уравнение имеет решение: s(f)=K-Acos(f+q), где A и q — какие-то константы. Поворотом координатных осей можно добиться, чтобы q=0.
Возвращаясь к переменной r и заменяя константы, приходим к уравнению
Это и есть уравнение кривой второго порядка в полярных коорддинатах. Число ε (эпсилон) называется эксцентриситетом. При нулевом эксцентриситете имеем постоянное r: это окружность. Если ε<1, это эллипс, причем Солнце в фокусе. Вот вам и первый закон Кеплера.
Если эксцентриститет равен единице, получится парабола; для одного направления радиус бесконечный, то есть тело уйдет в бесконечность.
Если же эксцентриситет больше единицы, получится гипербола. У нее четыре направления, в которых радиус бесконечный: по два на каждую ветвь. Но небесное тело летит только по одной ветви. Приходит из бесконечности и уходит в бесконечность.
Можно считать, несколько условно, что парабола — это эллипс, у которого один край утащен в бесконечность. А гипербола — это эллипс, у которого этот край протащен через бесконечность и притянут с другой стороны.
Третий закон. Наш закон сохранения, r²df=Cdt, позволяет вычислить период T, то есть время одного оборота: при этом заметенная площадь будет равна площади эллипса, а она равна пab, где a и b — полуоси.
Нам нужны отношения периодов разных планет, поэтому давайте постоянные множители отбрасывать: они все равно сократятся. Итак:
ab=CT.
Если последить, как менялись константы, то C=√(GMp), то есть a²b²=pT², с отбрасыванием постоянных множителей. Для эллипса параметр p=b²/a, что дает возможность сократить b: малая полуось никак не влияет на период. Имеем a³=T². Это и есть третий закон Кеплера. Там еще стоит некоторый постоянный множитель, который мы отбросили, но при отношении он сократится. И вот: квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей.
Не благодарите.