Расклассифицируем?
#Классификация – это упорядочение, и как таковое это средство борьбы со злыдней- энтропией.
В другой статье автор уже высказывал некоторую меру скепсиса по поводу человеческого стремления «нацело» систематизировать все, до чего доходит ум. Разумеется, это ни в коем случае не отторжение систематического подхода. Любая систематика подразумевает выделение нескольких элементов, включаемых в одну группу на основе некоторого признака, присущего только им, группы объединять в классы, также по принципу известной общности, и т.д. – в итоге, неизбежно возникает иерархия классификации. Однако то, что говорилось об условности границ, означает и условность выбора классифицирующего признака – и вот здесь важно выбрать не только то, что действительно является характерным признаком (вспомним хотя бы развитие биологической классификации от Кювье до наших дней), но и так, чтобы группы не состояли тождественно из одиночек или, наоборот, таких толп, что классификация перестает выполнять свое назначение. Как ни странно, задача оптимального заполнения иерархического уровня довольно абстрактна, а вот ее успешное решение – даже безотносительно сути того, что классифицируется! – определяет, будет ли классификация удачной или нет. Сюда попадает и научная классификация, и #иерархия отношений в коллективе, будь то команда или административное деление территории, и многое другое. Вопрос же об оптимальном разбиении на иерархические уровни тесно связан с вопросом о системах счисления, т.к. последние представляют своего рода иерархию чисел.
Способы #счисления
Обычно выделяют позиционные и непозиционные системы #исчисления, при этом понятие «разряд» вводится на примере позиционной системы и неявным образом распространяется на непозиционную. Правильнее было бы начать с того, что существуют разрядный и непрерывный способ представления числа, и их не нужно путать со способом записи, хотя последний в математике также является важной частью системы. Отметим сразу, что разрядности счета и записи могут вообще не совпадать – например, первая быть #десятичной, а вторая разрядной, но по иному, чем 10, основанию.
Непрерывный, наиболее примитивный способ является и более ранним. В этом способе каждому натуральному числу, т.е. количеству подсчитываемых предметов, соответствует, например, «своя» мелкая часть тела – так, у племен Папуа Новой Гвинеи известны подсчеты до 30 и более по совокупности пальцев, локтей, плеч, ушей и т.д. Когда-то, видимо, распространенный, непрерывный способ ныне практически вышел из употребления. Любопытно, что знакомство с ним, при низком уровне взаимопонимания, привело некоторых белых путешественников (возможно, двоечников по математике) к мысли о существовании у такого племени, например, «двадцатисемиричной» системы исчисления. В то же время известны заявления других исследователей о «туземном» способе счета типа «один-два-три-много», хотя известно, что даже некоторые птицы и млекопитающие способны отличать, скажем, 8 предметов от 9. Все это заставляет с осторожностью относиться к различным свидетельствам, просеивая их через сито критики.
Нам привычен разрядный способ с одинаковой «ценой» разрядов – десятичное исчисление. При этом, запись может быть как позиционная, когда значение разряда обозначается позицией в записи числа, а количество единиц в разряде – соответствующим символом, или цифрой, так и непозиционная – тогда, наоборот, символ обозначает разряд, а число повторений символа в записи показывает количество единиц данного разряда. Последний способ применялся египтянами на том же, что и у нас, десятичном основании. Возможны и комбинированные формы. Так, римский способ является переменно-разрядным (1-5-10-50-100…) непозиционным, но при этом взаимное положение символов разных разрядов указывает, нужно ли их складывать или делить. Способ майя вообще представлял вложенную систему – непозиционную запись в пределах 4х пятерок с использованием только символов 1 и 5, и позиционную из получившихся двадцаток.
Использование переменного основания #разрядной системы вообще имело широкое распространение. Более всего в ходу были разные основания для целых и для долей, однако и для целых каждый следующий разряд мог быть неравен предыдущему – последнее наиболее отчетливо запечатлено в системах мер и весов. Не следует забывать, что система счета и до сих пор для большинства населения имеет только непосредственно прикладное значение, что уж говорить о положении дел в старину. Считали именно предметы, меры, деньги, и постоянный перевод из одной системы в другую был бы абсолютно ненужным и вообще недоступным для большинства приемом (так, даже современные старшеклассники, образованнейшие по средневековым меркам люди, часто испытывают на уроках информатики трудности с переводом из десятичной в двоичную систему и ее производные, и обратно). Поэтому монетные, весовые и т.п. системы – это те же полноценные, исторически сложившиеся системы счета, которые надо рассматривать наравне с использовавшимися в науке «академическими» системами исчисления.
Хороший пример представляют британские системы. Так, двенадцать пенсов равнялось шиллингу, а двадцать шиллингов – одному фунту стерлингов; сам пенс делился на 2 полпенни или на 4 фартинга (farthing– дословно «четверть»). В 1 футе – 12 дюймов, а 3 фута – это 1 ярд. Дюйм делится кратно 2 – 1/2, 1/4, …, 1/32 и т.д. Здесь хорошо видна тенденция, вообще широко известная в мире: для целого использовать различные, иногда довольно большие основания разрядов, а для дробей – фактически бинарную систему «пополам – опять пополам – и т.д.». Примером целого набора разных разрядов, иногда с переменным основанием в одном и том же разряде, является счет времени (месяц – 28, 30 или 31 день).
Как ни странно, учетные записи – но не вычисления! – могли вестись при этом с использованием совершенно другой системы, выбор которой зависел еще и от предмета счета. Например, 1700 бочек записывались как VIII, IX дюжин и XI гроссов (гросс=12^2=144), и именно в таком порядке, а численность отряда из 1700 бойцов определялась в семнадцать сотен. 120 могли считаться как «двадцать и сто», «два по шестьдесят», «десять дюжин» или «шесть двадцаток (англ. six score)» и т.д. Время сейчас записывается с использованием десятичных цифр, несмотря на совершенно другие основания большинства разрядов – единиц измерения: 12 месяцев - 30 дней - 24 часа - 60 минут - 60 секунд - десятые, сотые и т.д. доли секунды.
Таким образом, ясно, что любая позиционная система является по определению разрядной, но не всякая разрядная – позиционной. Как правило, позиционная имеет одинаковое основание каждого разряда (единственное заметное исключение – «долгий календарь» майя с основанием 18 во втором разряде и 20 – в остальных), для непозиционных это необязательно. С учетом исторических реалий, следует также по отдельности рассматривать исчисление целых и дробей.
Распространение десятичной системы обычно обосновывают числом пальцев на руках – но вот насколько это серьезный аргумент? Почему 2 руки, а не 1, или не все 4 конечности? Как, если некая система явно лучше, она тысячелетиями не может до конца вытеснить другие? Попробуем разобраться и для начала рассмотрим подряд все существовавшие варианты разрядных оснований.
Из истории позиционных систем счисления
Во-первых, несколько слов о так называемой «единичной» системе, tally marks – однотипные точки или засечки, количество которых и означает записываемое число. Еще раз напомним о необходимости различать систему счета и систему записи. Очевидно, если бы система счета заключалась в повторении какого-то слова нужное число раз, то проку от нее было бы немного при наличии перед глазами самих предметов счета, хотя для устной передачи ограниченной информации она вполне пригодна. Все же, это именно система записи, и примечательно, что почти во всех исторически достоверных случаях присутствует объединение меток по 5 путем более тесной группировки или соединения 5 символов в некую «композицию» - но о 5-ти скажем дальше.
#Двоичная система и ее «бинарные производные». Ныне эта система является основой машинной арифметики, но до распространения компьютеров она практически никакого употребления для счета целых чисел не имела – в полную противоположность счету дробей! Факт наличия во многих языках отдельной двойственной формы наряду с единственной и множественной, по-видимому, вообще указывает на восприятие числа 2 как не вполне подпадающего под понятие «несколько», т.е. в принципе непригодного в качестве основы разрядной системы исчисления. Однако, двоичный счет и счет по основаниям 4, 8, 16 и т.д. в целом образовали некую обобщенную систему с основанием, «плавающим» по степеням двойки. Само название числа, делимого на 2 – «четное» – означает «считаемое». Впрочем, счет четверками, восьмерками и т.д. имел очень ограниченное распространение и не прижился, несмотря ни на широкое использование двоичных оснований для дробей, ни на близость основания 8 к 10-ти, ни на централизованные государственные усилия по его внедрению (например, попытка шведского короля Карла XII). Кроме того, двойка и четверка служили неявными, вспомогательными основанием, «вложенными» как сомножитель пяти в главное основание 10 и 20 соответственно – но об этом позже. Не лишне еще заметить, что четверки и восьмерки также имеют отношение и к пальцам – известно, что некоторые индейские племена вели счет не по самим пальцам, а по промежуткам между ними, по 4 на руке; существовал также вариант счета по пальцам руки за исключением большого. Правда, в дробях ее влияние гораздо заметнее – и ведь в самом деле, что может быть проще деления пополам, причем, сколько угодно раз, если нужно? Британская система мер до сих пор использует двоичные натуральные дроби от ½ до, как минимум, N/64.
Троичная система. С точки зрения кибернетики, наиболее экономная из целочисленных разрядных систем (формально, наибольшую экономию дает основание, равное иррациональному числу e=2.72…., но оно, и то теоретически, пригодно только для машинного счета). Однако, и в обычной форме (цифры 0, 1, 2), и тем более в «сбалансированной» (цифры со значением -1, 0, 1) она известна только современной математике. Несмотря на все формальные преимущества и на то, что почти во всех культурах числу 3 придавалось особое, даже сакральное значение, основой разрядной системы оно так нигде и не стало.
Пятеричная система. Интересна уже тем, что наиболее непосредственно основывается на «пятерне», т.е. числе пальцев одной руки, и тем, что при всем при том настоящая разрядная пятеричная система исторически почти неизвестна. Единственное достаточно достоверное исключение – счетная система небольшой группы аборигенов Северной Австралии, построенная на нескольких (более чем двух) пятеричных разрядах. Это тем более примечательно, что практически все известные единичные системы записи используют группировку по 5, и имеются также свидетельства о соответствующих лингвистических системах числительных, включающих только 1 и 5, а число до 4 обозначается произнесением «один» нужное количество раз, и т.д. Другой вариант – счет от 1 до 5 соответствующими числительными, 6 звучит как «5-и-1» и т.д. до «5-и-4»=9, а 10 – либо «дважды пять», либо специальное числительное «десять». Гораздо более широкое распространение получили системы, где 5 служит вспомогательным основанием (причем более явным, чем остальные), «вложенным» в более крупное – 20 или 60, но о них позже. На Руси еще сравнительно недавно бытовал счет пяткАми – в «Коньке-Горбунке» главный герой именно им и пользуется, и это не выдумка Ершова.
Шестеричная система – довольно экзотична, известна местами в Австралазии. У нее есть несколько совершенно уникальных черт. Во-первых, она также основана на… пяти пальцах на руке. Цифры (именно цифры!) от 1 до 5 обозначаются соответствующим количеством распрямленных пальцев, 6 – сжатым кулаком и одним распрямленным пальцем на второй руке. Фактически, кулак наглядно означает «ноль», т.е. нет распрямленных пальцев, а шестеричная запись числа 6 – это 10, т.е. кулак показывает значение младшего разряда, тогда как на другой руке один палец – единицу второго разряда. Так можно непосредственно досчитать до 36 (два кулака и единица в третьем разряде «по умолчанию»), на основе же лингвистических показателей утверждается наличие в системе счета как минимум 6 последовательных шестеричных разрядов! Во-вторых, из сказанного ясно, что это, наверное, единственная в мире система пальцевого счета, непосредственно задействовавшая принцип позиционного исчисления – наша десятичная в этом смысле намного примитивнее. В-третьих, эта красивая система возникла в очень ограниченном регионе и в близком соседстве (и даже этническом родстве носителей) с последними на Земле реликтами архаичной непрерывной системы.
Семиричная и девятиричная системы как исторические явления достоверно неизвестны, хотя эти числа весьма распространены в качестве «священных», а девятка не только наиболее близка к 10, но и удобно представима как трижды три. Можно было бы даже предположить, что 3, 7 и 9 потому и не используются как основа счета, что это «не пристало» сакральным числам, но ситуация с 12-ю – числом, несомненно, не менее «священным» – опровергает такое предположение, о чем ниже.
Мы перебрали все основания меньше 10. А что «с другой стороны»? Рассматривать все числа подряд мы уже не будем, просто потому, что исторически употреблявшихся в качестве основания системы счета осталось немного, и интервалы между ними значительны. Остальные числа будем просто пропускать.
#Двенадцатеричная система – одна из наиболее распространенных и, быть может, главный «конкурент» десятичной. И она тоже «пальцевая»! Известные практические примеры ее традиционного использования свидетельствуют, что она основана на счете фаланг 4х смежных пальцев, 3х4=12, тогда как большой используется для индикации нужной фаланги. При этом, однако, 3 и 4 как вспомогательные основания системы счета не «проглядывают». Широко использовалась для счета целых, и еще больше – дробей (даже наряду с десятичными целыми). Много ее реликтов сохранилось и по сей день в виде счета дюжинами, различных «двенадцатичленных» технических решений, даже 12 часов на циферблате. Любопытно, что почти все эти реликты – в области счета целых, тогда как от 12-ричного счета дробей, когда-то столь распространенного, в современной жизни мало что осталось (все-таки, именно 12 часов, а не 1/12 от половины суток!). Несомненно развитие двенадцатеричного исчисления до стадии разрядного – об этом говорит существование специальных названий для каждого разряда: дюжина=12, гросс=122=144 и масс=123=1728 – однако позиционные системы записи в этой системе исторически неизвестны.
Шестнадцатеричная система – до развития компьютерной техники и байтовой системы записи она не имела широкого распространения. Существовали китайские шестнадцатеричные системы мер, но сложно сказать, насколько их можно отнести к исчислению целых или дробных (в последнем случае это лучше согласовывалось бы с тенденцией бинарного деления, известной и в других культурах). В любом случае, сколько-нибудь сопоставимого с двенадцатеричной распространения эта система не получила (не считая дробей, о чем уже говорилось).
#Двадцатеричная система – второй, наряду с двенадцатеричной, «основной конкурент» десятичной. Считается, что она произошла от счета на пальцах всех 4 конечностей и является одной из самых древних. В отличие от 12-ричной, однако, в ней отчетливо видны вспомогательные основания, именно 4 и 5 – это наблюдается и в записи (например, у майя использована непозиционная разрядная запись до 20 по основаниям 4 и 5, а уже по основанию 20 – позиционная), и в названиях. Если «десять» и «двадцать» чаще обозначены отдельными словами, то 15 – это «трижды пять», 8 – «пять-и-три» и т.д. Любопытно, что счет по пальцам рук и ног веками сохранялся даже у народов, у которых «инструмент» отнюдь не был наготове ежеминутно, т.е. для такого счета приходилось разуваться и мерзнуть – например, у чукчей. В счете дробей двадцатеричная система оказалась далеко не столь успешна, как двенадцатеричная или бинарные.
#Шестидесятеричная – знаменитая система шумеров. Продолжала использоваться для вычисления дробей даже в средние века, наряду с десятичным и двенадцатеричным счетом целых. Причиной ее популярности называют рекордное количество делителей у числа 60, но это не объясняет ее появления – ведь нужно было уже иметь развитую систему счета, чтобы оценить это его качество. Обращает внимание также и наличие вспомогательных оснований – по сути, разных для счета, записи и наименования чисел! Счет единиц вели по пальцам одной руки, а пятерки отсчитывались по фалангам смежных пальцев другой по принципу двенадцатеричной системы, так что двенадцатая фаланга означала 60. Запись от 1 до 59 шла в непозиционной системе десятками, а названия чисел группировались пятерками и двадцатками, хотя слово «тридцать», вопреки расхожей трактовке «двадцать-и-десять», гораздо более похоже на «трижды десять». Видимо, весь этот набор образовался как результат «скрещивания» двенадцатеричной и двадцатеричной систем, с вложенными в последнюю пятерками и десятками. Большое количество делителей оказалось удачным, но вряд ли преднамеренным результатом, который обусловил, скорее, не появление, а уже последующее распространение системы. Ее преимущественное использование для дробей делает ее в этом смысле противоположностью двадцатеричной системы.
А какая лучше?
Итак, мы убедились, что в смысле привязки к «пальцевому арифмометру» десятичная система далеко не уникальна, она также не самая простая, экономная или красивая. Тогда почему именно она? Можно только предположить, что это в известной степени случайность. Изобретением, завоевавшим мировое признание, была «чистая» позиционная система записи, и уж просто так вышло, что ее автором и успешным промоутером оказался человек, выученный в десятичной парадигме. Имей он с детства привычку считать дюжинами – возможно, так считал бы сейчас весь мир.
Необходимо отметить и еще одно обстоятельство. Как уже говорилось, основная борьба за роль основания системы исчисления в истории развернулась между числами 10, 12 и 20. При этом только у 20 явно просматривались «вложенные» вспомогательные основания, в первую очередь 5, тогда как делители двух других чисел в этом качестве, похоже, не мыслились. Это указывает на то, что 20 оказалось великовато в качестве группы единиц одного ранга, раз возникла потребность в его подразделении на 2 «почти разряда». С другой стороны, все числа меньше 10, при всех их достоинствах, проиграли решительно и почти «без борьбы». Вероятно, это означает, что человеческий мозг оперирует некими «цифрами», или логическими символами, число которых не менее 10, но едва ли даже 20. Попытка уменьшить количество цифр в системе исчисления приводит к удлинению записи без экономии на количестве символов, просто часть их в этом случае не используется. Точного количества символов, видимо, не существует, это связи в мозгу, достаточно сложные и даже избыточные (для обеспечения помехоустойчивости) а их максимально возможное число ограничено характером самих связей. В пределах же этого числа, чем больше единиц одного разряда задействовано, тем экономнее система счета.
Представляется соблазнительной топологическая аналогия, согласно которой наилучшей связностью на плоскости обладает система узлов, расположенных в вершинах равносторонних треугольников (принцип сотовой связи). В 3-мерном пространстве построить сеть, все объемные элементы которой были бы идентичны, можно только для кубической «решетки», однако по плотности связей она не оптимальна – это понятно на примере сравнения треугольной и квадратной сетей на плоскости. Наиболее регулярной решеткой, каждый узел которой имеет непосредственную связь с еще 12-ю узлами, является тетраэдрическая. Более общая оценка через отношение поверхности сферы и поверхности кругов вокруг размещенных на сфере точек, одинаково отстоящих друг от друга и от центра сферы, дает 16 связей. В реальности построить изометрическую 16-вершинную фигуру невозможно, а ближайшими приближениями являются икосаэдр и додекаэдр с 12 и 20 вершинами соответственно. Именно такое количество кратчайших связей может иметь пространственно-однородная нейронная сеть. Соответствующее число разных «включений» служит основанием для систем счета, имеющих от 12 до 20 единиц в разряде, причем наибольшая цифра уже означает работу с максимальным напряжением. При меньшем основании для разряда мозг просто недогружен, при чрезмерном – раскладывает его на меньшие.
Возвращаясь к арифметике иерархических систем, можно констатировать, что 12 элементов одной ячейки – это, должно быть, наибольшее число, при котором «вертикальное» структурирование можно считать близким к оптимальному. Учитывая, что системы отношений нередко работают гораздо ближе к формальным кибернетическим принципам, чем отдельно взятый человеческий мозг, ограничителем с меньшей стороны следует назвать число 3.
Итак, при разбиении какой-либо системы на «этажи» иерархии полезно стремиться к тому, чтобы каждая ячейка включала от 3 до 12 элементов. Именно такая дробность наилучшим образом способствует понятности, управляемости и другим качествам, ради которых люди вообще тратят столько мысленной энергии на то, чтобы все разложить по полочкам.
Если было интересно, оставайтесь с нами - подписывайтесь на канал.
