Каждая нестандартная задача требует своего, особого подхода: умеете ли их вы решать?

#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳

УМЕЕТЕ ЛИ ВЫ РЕШАТЬ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ?

Каждая нестандартная задача требует своего, особого подхода, но в любом случае начинать стоит с самой простой ситуации, подходящей под её условия. Следующая задача взята из учебника «Алгебра. 8 класс» под редакцией В.Е.Подольского [А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир — 4-изд., стереотип. — М.: Вентана -Граф, 2020.]

Прежде, чем читать дальше, предлагаю читателям попытаться решить задачу самостоятельно. Эта задача, на мой взгляд, «по зубам» уже шестиклассникам.

Приступим к поиску ответов на вопрос задачи

РЕШЕНИЕ

1) Частное — это число, которое будучи умноженным на делитель, даёт нам делимое. Но, если один из множителей чётное число, то его произведение с любым множителем тоже чётно, а делимое у нас, однако, нечётное число. Значит чётное число не может быть делителем нечётного.

ОТВЕТ. 1) Нельзя.

2) Начнём рассмотрение с простейшего случая: пусть n = 1.

Вспоминая признак делимости на 3, находим, что а = 444 => m = 3. Действительно: 444:3 = 148.

Пусть теперь n=2 => b = 33 = 3×11 — значит «а» должно делиться и на 3, и на 11. Читатель, знакомый с признаком делимости на 11, легко найдёт наименьшее число, делящееся и на 3, и на 11, остальным придётся воспользоваться перебором — это число 444 444 (четыреста сорок четыре тысячи четыреста сорок четыре) => m=6.

Думаю, однако, что необходимо привести этот признак:

Признак делимости на 11 заключается в разностном сравнении суммы цифр, стоящих на нечётных позициях в записи числа, с суммой цифр, стоящих на чётных позициях. Если эта разность делится на 11 (0 делится!), то и само число делится, в противном случае не делится.

Значит число «b» может быть делителем числа »a»  как при n = 2 и m = 6: 444 444 : 33 = 13 468; 

так и при n = 3 и m = 9: 444 444 444 : 333 = 1 334 668.

Нетрудно заметить, что m=f(n): m=3n (прямая пропорциональность)!

Чтобы окончательно убедиться в этом, воспользуемся компьютером: вот фрагменты трёх последовательных снимков с экрана монитора, на которых демонстрируется нахождение частного a:b при n=10 и m=30:

Вполне убедительная проверка:

a:b=133 333 333 346 666 666 668.

ОТВЕТ. Может, при m=3n.

Привычка к обобщениям не дала мне пройти мимо ещё одной, не имеющей непосредственного отношения к теме задачи, закономерности в симметрии получаемых частных. Эта симметричность позволяет выписывать значения частного a:b при любых значениях n и m(n)=3n, используя простую закономерность: число цифр «3», как и число цифр «6», в записи частного a:b определяется разностью n-1.

Воистину, чем глубже всматриваешься в глубину и суть явлений, тем величественнее и гармоничнее красота и совершенство, которые открываются взору!

Данная статья является второй в цикле "Учимся решать нестандартные задачи" и даёт ещё один пример действенности приёма обобщений. Ну, а сама задача — ещё одна, и, пожалуй, самая сложная, вариация на тему моего «Математического концерта».

Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.

Другие статьи автора:

• "Что такое дробь?": большинство учащихся, даже старших классов, не может ответить на этот вопрос
• Почему килограмм гвоздей всё таки тяжелее килограмма ваты?
• Популярная задача по физике, на которую во многих учебниках приводится неправильный ответ

Цикл статей "Учимся решать нестандартные задачи"

1 статья
2 статья [Текущая]