"Ух ты, физика!" Часть 28. Последняя теоретическая фишка.
Это последняя в данном цикле чисто теоретическая часть. Дальше будут задачи и опыты.
Хотелось закончить теорию чем-то не слишком сложным, но интересным и полезным. Поэтому была выбрана тема магнитостатики.
В средней школе магнитостатике, к сожалению, не уделяется должного внимания. И совершенно зря! Потому, что эта тема связывает электромагнитные явления с теорией относительности и является, по сути, системообразующей для понимания взаимосвязи всех физических явлений между собой.
Тот кто поймет (именно поймет, а не зазубрит) магнитостатику, тот легко освоит весь остальной курс школьной физики.
Что такое "Магнитостатика"?
Вы можете сказать, что это модель физических явлений, описывающая статические магнитные поля.
Но позвольте вам заметить, что сами по себе магнитное поле (поля) вызывается движением чего-либо (зарядов - электрический ток)или изменением чего-либо (электрических полей). И где же тут статика?
Возможно, правильным ответом будет, что магнитостатика, это модель явлений, описываемая "магнитной" половиной уравнений Максвелла при условии, что в них ничего не меняется со временем.
Когда производные по времени равны нулю, то мы помним, что у нас уравнения Максвелла распадаются на две независимые между собой пары. Одна описывает электрические поля. Вторая описывает магнитные поля.
Дивергенция (истечение/втечение) магнитного поля всегда равна нулю.
Ротор магнитного поля по любому замкнутому контуру зависит от тока j протекающего через этот контур.
Вот эта пара уравнений и описывает случай магнитостатики. Когда мы представляем себе случай производных по времени, равных нулю, то это значит, что поля не изменяются с течением времени.
Мы можем представить себе так же, что токи постоянны. Текут себе и текут, создавая абсолютно неизменное во времени магнитное поле.
Чтобы по-настоящему понять магнитостатику (всю ее прелесть, простоту и полноту) нужно точно описать, что такое электрический ток.
Движение заряженных частиц, скажете вы. И будете правы. Но лишь отчасти.
Вопрос для самостоятельного изучения.
Мы можем рассматривать, условно, два вида электрического тока:
1) Ток по проводникам - например, когда электроны двигаются по металлическому проводу.
2) Движение потока заряженных частиц в пустоте - например, направленный поток электронов в электронно-лучевой трубке.
Вопрос: Чем отличаются эти "токи"?
Первые трое, правильно ответившие на вопрос, получают в качестве приза мобильный графический планшет от нашего спонсора.
Рассмотрим электрический ток, неизменный во времени, протекающий по отрезку проводника, длиной Lо.
В общем случае скорость упорядоченного направленного движения электронов в проводнике зависит от выбранной системы отсчета. Конечно же мы рассматриваем только инерциальные системы, поскольку они самые удобные и простые для описания физических моделей.
Если мы возьмем две инерциальные системы отсчета, которые двигаются друг относительно друга с некоторой постоянной ненулевой скоростью, то в каждой из этих систем скорость наших электронов проводимости будет своя.
Значит ли это, что в зависимости от выбранной системы отсчета у нас будет меняться сила тока в проводнике?
Ну конечно же нет! Потому, что в проводнике кроме отрицательных электронов есть еще положительно заряженные ионы. И, я думаю, нетрудно догадаться, что сила тока в проводнике определяется их относительной скоростью (друг относительно друга).
Неважно с какой скоростью электроны двигаются в нашей системе отсчета. Важно с какой скоростью они двигаются относительно положительно заряженных ионов.
Самостоятельно продолжите рассуждения в сторону потока электронов в пустоте!
Итак, теперь рассмотрим отрезок проводника с током. Вокруг которого образуется магнитное поле В. Разберемся с током.
Во втором из наших уравнений магнитостатики j - это вектор плотности тока.
Что такое плотность заряда, я думаю, понятно? Это количество заряда в единице объема. Размерность - [Кл/ куб.м.].
Вектор скорости - это вектор средней направленной скорости наших зарядов (например, электронов, в случае металлического проводника).
Таким образом понятно, что плотность тока направлена в сторону ..... (?)
Куда направлена плотность тока?
Правильно! В сторону движения положительных зарядов. Или в сторону, противоположную вектору скорости движения электронов. Это просто физики так договорились.
Это важно при переходе к скалярному виду. Нужно всегда помнить, что плотность тока направлена в сторону, противоположную направлению движения электронов в металлическом проводнике.
Для куска провода с током плотностью j количество заряда, проходящее в единицу времени через поперечное сечение провода площадью А, называется электрическим током и равно
Соответственно, плотность тока - это ток проходящий через единицу площади поперечного сечения проводника.
И наш постоянный ток согласно нашему второму уравнению создает постоянное (статическое) магнитное поле.
Существует достаточно простой Закон Ампера для провода с током:
«Циркуляция поля В по любой замкнутой кривой равна току I, проходящему сквозь эту кривую (петлю), деленному на коэффициент «эпсилон-ноль умноженный на квадрат скорости света.»
Поскольку модель прямого провода с током имеет осевую симметрию, то линии магнитного поля так же должны иметь осевую симметрию. Т.е. они представляют из себя окружности в плоскостях, перпендикулярных отрезку проводника, с центрами в точках пересечения данных плоскостей с проводником. Это понятно?
Для прямого провода с током
Это нужно пояснить. Первое из этих трех уравнений - это и есть "Закон Ампера для провода с током". Самые продвинутые могут заметить, что оно получено из нашего второго уравнения для магнитостатики методом интегрирования для случая прямого проводника с током.
В левой части стоит "суммарная напряженность" магнитного поля на окружности радиуса r, длиной 2пr.
В правой - модуль силы тока, деленный на соответствующий коэффициент.
Второе уравнение получено переносом всего, кроме В, в правую часть.
Как получается третье уравнение легко поймут те, кто помнит, что такое векторное произведение векторов. Вектор еr - это единичный вектор, направленный в сторону вектора r. В случае прямого провода с током все эти три вектора (магнитной индукции, тока и радиус-вектор точки) перпендикулярны. Это видно из рисунка и понятно из соображений симметрии.
Еще немного терпения!
Вспомним, что есть такая сила Лоренца, действующая на движущуюся заряженную частицу
Поскольку у нас все заряды "+" и "-" в проводнике в состоянии покоя уравновешены. Вектор Е = 0.
Тогда для частицы, которая движется вдоль проводника с током, подставляем вместо В его значение из уравнения выше (через силу тока), имеем
К модулям можно перейти потому, что вектора силы, скорости и напряженности магнитного поля перпендикулярны. А почему они перпендикулярны, догадайтесь сами!
Первому догадавшемуся и написавшему об этом будет приз - мобильный графический планшет от нашего спонсора.
Самостоятельно докажите так же, что для проводника с током длиной L
Это уже весьма нетривиальная задача. Но вам она "по-плечу".
Главная фишка магнитостатики
Теперь рассмотрим случай когда частица движется вдоль проводника с током.
Пусть это будет электрон (-) и пусть он движется со средней скоростью поступательного движения электронов в проводнике в том же направлении. Это не нарушит общности наших выводов, но сильно упростит нам вывод формул. В системе отсчета S, связанной с проводником все понятно.
Положительные заряды стоят на месте, отрицательные двигаются. Ток идет, создавая магнитное поле. Которое, в свою очередь, действует на частицу силой F, направленной к проводнику.
Это вполне подтверждается экспериментом, в котором два провода с со-направленными токами притягиваются
Теперь перейдем в систему отсчета, связанную с нашей движущейся отрицательной частицей.
Теперь у нас ток в проволоке есть (положительные заряды двигаются со скоростью v ). А вот заряд покоится относительно нашей все еще инерциальной системы координат. Тогда на него не действует сила, связанная с магнитным полем. То есть сила пропала от смены одной инерциальной системы отсчета на другую инерциальную?!
Но это же бред!
Получается, что выбирая другую инерциальную систему отсчета, двигающуюся с другой скоростью, относительно проводника, мы каждый раз будем получать другую величину силы, действующей на частицу? Этого не может быть. Почему?
Потому, что это не согласуется с экспериментом!
Как правильно рассчитывать силы, действующие на частицу со стороны проводника с током?
Так как у нас сила тока выражается через плотность зарядов
То можно подставить эту формулу в выражение для силы тока в системе отсчета S (без штриха)
Заметим, что у нас по-сути одномерный случай. Все движется вдоль одной оси. Поэтому мы можем перейти от векторной формы уравнения к скалярной. Причем так, как мы рассматриваем плотность положительных зарядов, то у нас скорость v входит со знаком +.
А - это площадь сечения проводника.
Для простоты мы можем убрать знаки модулей вообще.
Теперь вспомним, что у нас скорость частиц в проводнике и скорость частицы вне проводника равны. Тогда
Это все в системе отсчета покоящейся проволоки.
А что же получается в штрихованной системе отсчета, в которой проволока двигается, а заряд покоится.
На заряд действительно не действует магнитная сила. Поскольку магнитная сила действует только на движущиеся заряды.
Но тогда какая же сила действует на заряд? Опыт нам говорит, что величина действующей силы не зависит от выбора инерциальной системы отсчета. Это аксиома!
Мы всегда выбираем такую инерциальную систему отсчета, в которой наиболее просто описывается рассматриваемое физическое явление.
В данном случае, физическое явление - это взаимодействие проводника с током и отрицательного единичного заряда, который двигается со скоростью направленного движения электронов в проводнике.
Зададим себе вопрос: "Что изменится при переходе к штрихованной системе координат?"
Чем штрихованная система координат отличается от нештрихованной?
Они двигаются с постоянной скоростью, одна относительно другой. В нештрихованной проволока покоится. В штрихованной двигается.
Вспомним теорию относительности. В движущейся системе отсчета относительно покоящейся системы отсчета (покоится та, в которой находится наблюдатель) длина в направлении движения сокращается.
Смотрим на последнюю формулу и замечаем, что у нас от "длины" (в данном случае от длины отрезка провода L) зависит только плотность заряда.
Ноликом обозначается длина и плотность в покоящейся системе координат. Соответственно "без нолика" - это длина и плотность в движущейся системе координат с точки зрения наблюдателя, который находится в покоящейся системе.
Прочитайте предыдущий абзац несколько раз для того, чтобы убедиться, что вы точно поняли!
Если провести расчет плотности положительных и плотности отрицательных зарядов в проводнике, по которому течет ток, то окажется, что суммарный заряд отрезка проводника с током будет зависеть от выбранной инерциальной системы отсчета. Круто?
Я не буду приводить весь вывод формул.
Отсылаю заинтересованного читателя к параграфу 6 главы 13 тома 5 "Фейнмановских лекций по физике".
Тот, кто поймет содержание этого параграфа, тот поймет теорию относительности.
Опишу словами, что происходит на самом деле при переходе от одной системы координат к другой.
В системе координат, покоящейся относительно проводника с током, на двигающуюся вдоль проводника заряженную действует только сила со стороны магнитного поля проводника с током. Это подтверждается экспериментально, когда мы по соответствующим формулам рассчитываем и измеряем эту силу.
Соответственно, сила со стороны электрического поля на эту частицу в этой системе отсчета равна нулю. Соответственно, плотности положительных зарядов и отрицательных зарядов в этой системе отсчета равны.
При переходе к системе отсчета, в которой проводник двигается (для простоты рассмотрим наш случай, когда система отсчета неподвижна относительно двигающихся отрицательных зарядов), Плотности зарядов положительных и отрицательных меняются по разному.
Почему? Да все очень просто. Для положительных зарядов длина отрезка проводника уменьшается
А для отрицательных увеличивается потому, что в неподвижной относительно проводника системе отсчета они двигались. В движущейся же системе отсчета они стали покоиться.
Если не совсем понятно с длинами, то рассмотрите соответствующие плотности зарядов. В зависимости от системы отсчета, для положительных будет
Для отрицательных
Соответственно для того, чтобы посчитать результирующий заряд каждой единицы объема проводника, нужно просто сложить плотность положительных с плотностью отрицательных. Учитывая, что "нулевые" плотности были равны по величине (но противоположны по знаку, поэтому в покоящейся системе координат электрическое поле от проводника с током отсутствовало), мы легко получим результирующую суммарную плотность заряда проводника с током в движущейся системе координат.
И она будет ненулевая!
На заряженную частицу, покоящуюся в движущейся системе координат относительно проводника с током, будет действовать электростатическая сила.
Поскольку плотность положительных частиц увеличилась, а отрицательных уменьшилась, то наша проволока будет иметь положительный заряд и притягивать отрицательно заряженную частицу. Точно так же, как и в первоначальной системе координат она это делала с "помощью" магнитного поля.
Если посчитать электрическую силу, то она будет равна
,где "штрихованная" сила - это сила, действующая на нашу частицу в движущейся системе координат относительно проводника. А "нештрихованная" - в неподвижной. Это соотношение между магнитной и электрической силами в соответствующих системах координат.
Но они не совпадают!
Правда несовпадение при обычных, "земных" скоростях очень маленькое. Но все таки! Значит ли это, что теория неверна? Неточна?
Никоим образом! Потому, что магнетизм - это явление релятивизма. А релятивистски правильное уравнение движения - это уравнение для приращения импульса
Учитывая, что время тоже изменяется в зависимости от выбранной системы отсчета, приращения импульсов (то, что должно сохраняться вне зависимости от выбранной системы отсчета) не зависит от выбранной нами системы отсчета.
Самое замечательное, что теория относительности появилась на свет, в основном благодаря стремлению физиков объяснить "исчезновение" магнитной силы в движущейся системе отсчета. Можно сформулировать и так.
А что будет, если скорости частицы и системы отсчета будут неравны?
Тогда придется использовать полную формулу для силы Лоренца
и рассчитывать обе составляющие. И магнитную, и электрическую.
