Широков Александр

Построить график уравнения: {y} = {x} (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y = {x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Рассмотрим исходное уравнение, ограничив значения переменной y некоторым числовым промежутком. Сначала удобно взять полуинтервал [0; 1). Из смысла понятия дробной части числа следует, что на указанном множестве значений выполняется...

Задание Изобразить на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y = {x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Рассмотрим сначала первое неравенство в системе и преобразуем его: {x} ≥ {x}² + y² ⇔ y² ≤ {x} – {x}² ⇔ (в задаче А-22 было показано, что неравенство {x}·(1 – {x}) ≥ 0 выполняется при любом действительном x)...

Задание Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых соответствуют требованию: |y| ≤ sin²x + 1 Решение Для решения задачи построим сначала график функции y = sin²x + 1 Проведём с её выражением следующие преобразования: y = sin²x + 1 = ½ – ½·cox 2x + 1 = ³/₂ – ½·cox 2x Построение графика y = – ½·cox 2x было рассмотрено ранее при разборе решения задачи А-25. Если его «поднять» на полторы единицы вверх, то как раз получится график y = sin²x + 1 (рис. 1). Рассмотрим два варианта: когда y ≥ 0 и когда y < 0...

Задание Построить график уравнения: tg y = tg x Решение Помня, что функция тангенса определена не для всех действительных чисел, преобразуем исходное уравнение: (при последнем переходе применено тождество для синуса разности двух аргументов). Полученная дробь может быть равна нулю, когда sin (y – x) = 0, при этом cos x ≠ 0 и cos y ≠ 0. Иными словами исходное уравнение равносильно следующей системе, с которой также можно выполнить ряд преобразований: Первое выражение в системе описывает серию уравнений:...

Предлагаемая вашему вниманию заметка связана с тремя другими публикациями на канале: А посвящена она одной любопытной возможности приложения LibreOffice Draw. Помимо знаний от уроков математики у меня остались убеждения о том, каков «канонический» вид рисунка декартовой системы координат, в области которой изображаются графики функций и прочие объекты типа векторов и т. п.: «Школьные задачи» постепенно «выросли» из скромной заметки в целую серию публикаций на канале, и из-за специфики иллюстраций,...

Задание Построить график уравнения: y² = sin⁴ x Решение Обе части уравнения неотрицательны, поэтому при извлечении квадратного корня из них также получится верное равенство (в конце приведённой цепочки преобразований для дальнейшего удобства применена формула понижения степени синуса): Рассмотрим два варианта: когда y ≥ 0 и когда y < 0. 1) y ≥ 0 Тогда |y| = y и y = ½ – ½cos 2x График такой функции можно получить из графика косинусоиды y=cos x , выполнив с ним последовательно такие действия: В результате...

Задание Построить график уравнения: y² = ({x} – ½)² (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Обе части уравнения неотрицательны, поэтому при извлечении квадратного корня из них также получится верное равенство: Рассмотрим два варианта: когда y ≥ 0 и когда y < 0. 1) y ≥ 0 Тогда |y| = y и y = |{x}...

Задание Построить график уравнения: {x} = {x}² + y² (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Проведём равносильные преобразования уравнения: {x} = {x}² + y² ⇔ y² = {x} – {x}² ⇔ Важно отметить, что извлечение квадратного корня из выражения ({x} – {x)²) (или из эквивалентного ему выражения {x}·(1 – {x}) ) допустимо только в случае его неотрицательности...

Задание Когда астрономы определили массы и размеры Земли и Луны, встал вопрос о том, почему средние плотности планеты и спутника так различаются – у Луны эта величина оказалась заметно меньшей. Одной из попыток объяснения данного факта была гипотеза (ныне отвергнутая научным сообществом из-за своей несостоятельности), что Луна полая внутри, хотя и состоит из такого же вещества, что и Земля. Исходя из фантастического предположения, что внутри Луны действительно есть одна большая сферическая и совершенно...

Задание Построить график функции (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Поскольку 0 ≤ {x} < 1, то из этого следует, что всегда 1 – {x} > 0, а это, в свою очередь, означает, что произведение {x}·(1 – {x}) никогда не принимает отрицательных значений. Следовательно, областью определения функции является всё множество действительных чисел...

Задание Построить график функции (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Поскольку 0 ≤ {x} < 1, то из этого следует, что 0 ≤ {x}² < 1, а значит (1 – {x}²) > 0 при любом действительном x. Отсюда следует, что функция также определена на всём множестве действительных чисел. Для периодической функции f(x) с периодом T, выполняется следующее равенство: f(x) = f(x + kT), где k – целое число...

Задание Построить график функции (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Поскольку 0 ≤ {x} < 1, то из этого следует, что областью определения функции является всё множество действительных чисел, а значит и указанная в условии задачи функция также определена при любом действительном x. Для периодической...