Широков Александр

Построить график функции: y = arctg(tg x) Найдём сначала область определения y(x) = arctg(tg x). Арктангенс определён при любом действительном значении аргумента, а тангенс не существует при x = π/2+πn (n∈ ℤ), из чего следует, что y(x) имеет смысл при x ≠ π/2+πn. Тангенс и арктангенс – нечётные функции, поэтому arctg(tg (–x)) = arctg(–tg x) = –arctg(tg x) Таким образом, y(x) является нечётной (y(–x) = –y(x) ) и её график симметричен относительно начала координат. Из периодичности тангенса следует,...

Построить график функции: y = arccos(cos x) Найдём сначала область определения y(x) = arccos(cos x). Косинус числа cos x имеет смысл при любом действительном x. Областью значений аргумента арккосинуса, при которых он также определён,является отрезок [–1; 1], что полностью совпадает с областью значений функции косинуса. Отсюда следует, что заданная в условии задачи функция y(x) определена при любом действительном x. Функция косинуса является чётной. Отсюда arccos(cos(–x)) = arccos(cos x) Таким образом...

Построить график функции: y = arcsin(sin x) Найдём сначала область определения y(x) = arcsin(sin x). Синус числа sin x определён при любом действительном x. Областью значений аргумента арксинуса, при которых он также определён,является отрезок [–1; 1], что полностью совпадает с областью значений функции синуса. Отсюда следует, что заданная в условии задачи функция y(x) определена при любом действительном x. Функция синуса – периодическая, её период T составляет 2π, следовательно верно равенство arcsin(sin(x+2πn))...

Целая часть числа x обозначается как [x]. Под ней понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное. Функция у = [x] определена на всём множестве действительных чисел. С учётом этих данных построить график уравнения: [y] = [x] Построим сначала график функции y = [x] Рассмотрим xна полуинтервале значений [n; n+1), где n – целое. В соответствии с определением целой части числа на указанном числовом промежутке выражение функции преобразуется к виду: y = n Иными словами при x ∈ [n; n+1) график...

Построить график уравнения: {y} = {x} (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y = {x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Рассмотрим исходное уравнение, ограничив значения переменной y некоторым числовым промежутком. Сначала удобно взять полуинтервал [0; 1). Из смысла понятия дробной части числа следует, что на указанном множестве значений выполняется...

Задание Изобразить на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y = {x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Рассмотрим сначала первое неравенство в системе и преобразуем его: {x} ≥ {x}² + y² ⇔ y² ≤ {x} – {x}² ⇔ (в задаче А-22 было показано, что неравенство {x}·(1 – {x}) ≥ 0 выполняется при любом действительном x)...

Задание Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых соответствуют требованию: |y| ≤ sin²x + 1 Решение Для решения задачи построим сначала график функции y = sin²x + 1 Проведём с её выражением следующие преобразования: y = sin²x + 1 = ½ – ½·cox 2x + 1 = ³/₂ – ½·cox 2x Построение графика y = – ½·cox 2x было рассмотрено ранее при разборе решения задачи А-25. Если его «поднять» на полторы единицы вверх, то как раз получится график y = sin²x + 1 (рис. 1). Рассмотрим два варианта: когда y ≥ 0 и когда y < 0...

Задание Построить график уравнения: tg y = tg x Решение Помня, что функция тангенса определена не для всех действительных чисел, преобразуем исходное уравнение: (при последнем переходе применено тождество для синуса разности двух аргументов). Полученная дробь может быть равна нулю, когда sin (y – x) = 0, при этом cos x ≠ 0 и cos y ≠ 0. Иными словами исходное уравнение равносильно следующей системе, с которой также можно выполнить ряд преобразований: Первое выражение в системе описывает серию уравнений:...

Предлагаемая вашему вниманию заметка связана с тремя другими публикациями на канале: А посвящена она одной любопытной возможности приложения LibreOffice Draw. Помимо знаний от уроков математики у меня остались убеждения о том, каков «канонический» вид рисунка декартовой системы координат, в области которой изображаются графики функций и прочие объекты типа векторов и т. п.: «Школьные задачи» постепенно «выросли» из скромной заметки в целую серию публикаций на канале, и из-за специфики иллюстраций,...

Задание Построить график уравнения: y² = sin⁴ x Решение Обе части уравнения неотрицательны, поэтому при извлечении квадратного корня из них также получится верное равенство (в конце приведённой цепочки преобразований для дальнейшего удобства применена формула понижения степени синуса): Рассмотрим два варианта: когда y ≥ 0 и когда y < 0. 1) y ≥ 0 Тогда |y| = y и y = ½ – ½cos 2x График такой функции можно получить из графика косинусоиды y=cos x , выполнив с ним последовательно такие действия: В результате...

Задание Построить график уравнения: y² = ({x} – ½)² (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Обе части уравнения неотрицательны, поэтому при извлечении квадратного корня из них также получится верное равенство: Рассмотрим два варианта: когда y ≥ 0 и когда y < 0. 1) y ≥ 0 Тогда |y| = y и y = |{x}...

Задание Построить график уравнения: {x} = {x}² + y² (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Проведём равносильные преобразования уравнения: {x} = {x}² + y² ⇔ y² = {x} – {x}² ⇔ Важно отметить, что извлечение квадратного корня из выражения ({x} – {x)²) (или из эквивалентного ему выражения {x}·(1 – {x}) ) допустимо только в случае его неотрицательности...