Широков Александр

Задание Построить график уравнения: tg y = tg x Решение Помня, что функция тангенса определена не для всех действительных чисел, преобразуем исходное уравнение: (при последнем переходе применено тождество для синуса разности двух аргументов). Полученная дробь может быть равна нулю, когда sin (y – x) = 0, при этом cos x ≠ 0 и cos y ≠ 0. Иными словами исходное уравнение равносильно следующей системе, с которой также можно выполнить ряд преобразований: Первое выражение в системе описывает серию уравнений:...

Предлагаемая вашему вниманию заметка связана с тремя другими публикациями на канале: А посвящена она одной любопытной возможности приложения LibreOffice Draw. Помимо знаний от уроков математики у меня остались убеждения о том, каков «канонический» вид рисунка декартовой системы координат, в области которой изображаются графики функций и прочие объекты типа векторов и т. п.: «Школьные задачи» постепенно «выросли» из скромной заметки в целую серию публикаций на канале, и из-за специфики иллюстраций,...

Задание Построить график уравнения: y² = sin⁴ x Решение Обе части уравнения неотрицательны, поэтому при извлечении квадратного корня из них также получится верное равенство (в конце приведённой цепочки преобразований для дальнейшего удобства применена формула понижения степени синуса): Рассмотрим два варианта: когда y ≥ 0 и когда y < 0. 1) y ≥ 0 Тогда |y| = y и y = ½ – ½cos 2x График такой функции можно получить из графика косинусоиды y=cos x , выполнив с ним последовательно такие действия: В результате...

Задание Построить график уравнения: y² = ({x} – ½)² (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Обе части уравнения неотрицательны, поэтому при извлечении квадратного корня из них также получится верное равенство: Рассмотрим два варианта: когда y ≥ 0 и когда y < 0. 1) y ≥ 0 Тогда |y| = y и y = |{x}...

Задание Построить график уравнения: {x} = {x}² + y² (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Проведём равносильные преобразования уравнения: {x} = {x}² + y² ⇔ y² = {x} – {x}² ⇔ Важно отметить, что извлечение квадратного корня из выражения ({x} – {x)²) (или из эквивалентного ему выражения {x}·(1 – {x}) ) допустимо только в случае его неотрицательности...

Задание Когда астрономы определили массы и размеры Земли и Луны, встал вопрос о том, почему средние плотности планеты и спутника так различаются – у Луны эта величина оказалась заметно меньшей. Одной из попыток объяснения данного факта была гипотеза (ныне отвергнутая научным сообществом из-за своей несостоятельности), что Луна полая внутри, хотя и состоит из такого же вещества, что и Земля. Исходя из фантастического предположения, что внутри Луны действительно есть одна большая сферическая и совершенно...

Задание Построить график функции (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Поскольку 0 ≤ {x} < 1, то из этого следует, что всегда 1 – {x} > 0, а это, в свою очередь, означает, что произведение {x}·(1 – {x}) никогда не принимает отрицательных значений. Следовательно, областью определения функции является всё множество действительных чисел...

Задание Построить график функции (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Поскольку 0 ≤ {x} < 1, то из этого следует, что 0 ≤ {x}² < 1, а значит (1 – {x}²) > 0 при любом действительном x. Отсюда следует, что функция также определена на всём множестве действительных чисел. Для периодической функции f(x) с периодом T, выполняется следующее равенство: f(x) = f(x + kT), где k – целое число...

Задание Построить график функции (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1). Решение Поскольку 0 ≤ {x} < 1, то из этого следует, что областью определения функции является всё множество действительных чисел, а значит и указанная в условии задачи функция также определена при любом действительном x. Для периодической...

Задание Построить график функции (дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической с периодом, равным 1). Решение Поскольку 0 ≤ {x} < 1, то из этого следует, что областью определения функции является всё множество действительных чисел, а значит и указанная в условии задачи функция также определена при любом действительном x. Для периодической функции f(x) с периодом T, выполняется следующее равенство: f(x) = f(x + kT), где k – целое число...

Серия публикаций «Школьные задачи» продолжает расширяться и думается, что на момент написания этих строк не будет слишком большим преувеличением сказать о получившемся мини-задачнике по ряду школьных дисциплин, более-менее регулярно пополняющимся всё новыми заданиями с разборами их решения. Все предлагаемые задачи придуманы самостоятельно, но поскольку одни и те же идеи частенько приходят в голову разным людям, нельзя исключить ситуацию, когда задание, подобное имеющемуся у меня, могло быть уже составлено кем-то другим...

Задание Доказать, что сумма частных производных объёма прямоугольного параллелепипеда по сторонам равна половине площади его поверхности. Решение Возьмём прямоугольный параллелепипед со сторонами длиной a, b и c. Если его объём, равный V = abc, рассматривать как функцию трёх переменных V = V(a, b, c), то его частные производные будут таковы: Площадь поверхности S прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех его шести граней, которые являются прямоугольниками: S = 2ab + 2bc + 2ac = 2·(ab + bc + ac) Сложим значения частных производных вместе и получим: q...