Всех приветствую! Сегодня мы продолжим разбирать очный этап олимпиады "Физтех" 2022 года. В качестве задачи на 4 балла детям было предложено следующее неравенство:
Давайте разбираться! В самом начале стоит записать область допустимых значений логарифмов:
Аргументы каждого из логарифмов при таких условиях положительны, поэтому дополнительно никаких условий не возникнет. Перезапишем:
Запишем область допустимых значений для корня:
Неравенство такого вида эквивалентно рациональному неравенству:
Воспользуемся формулой:
Видим разность квадратов во второй скобке:
Последняя скобка всегда положительна! Избавимся от нее:
И еще одна разность квадратов:
Воспользуемся методом интервалов для решения неравенства:
Итак, корень дает следующие ограничения:
Еще раз глянем на исходное неравенство:
Правая часть больше (или равна) корня. А это значит, что она тоже не может быть отрицательной! Запишем:
И опять рационализируем:
Снова разность квадратов:
Приведем каждую скобку к общему знаменателю. Получим:
Метод интервалов (в нуле знак не меняется, к тому же я забыл его поставить на числовую прямую):
Итак, последнее условие дает такие ограничения:
Если объединить все условия, то получится так:
Не сложно заметить, что единица это корень:
Ну что же — теперь к неравенству:
Заметим, что в левой и правой части можно вынести показатели степени из аргумента:
Возведем в квадрат (на области, которую мы нашли выше это можно сделать — правая часть неотрицательна):
Четверки уходят:
Воспользуемся формулой перехода к новому основанию:
В каждом знаменателе есть логарифм с произведением в аргументе — используем формулу:
Тут очевидно — замена:
Решаем дробно-рациональное неравенство. Все влево:
Приводим к общему знаменателю:
В числителе можно вынести t за скобки:
Приведем подобные:
Отмечаем корни числителя и знаменателя на числовой прямой, расставляем знаки:
Нам нужен минус. Запишем ответ для t:
И для x:
С учетом ограничения, окончательный ответ:
Вот такая задача! Не сложная по сути, но требующая внимательности и аккуратности — уверен, ошиблось в ней не мало абитуриентов. Но хорошо подготовленные решили ее с легкостью. Спасибо за внимание и удачи! Также советую посмотреть предыдущую:
И следующие задачи данной олимпиады:
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!