Всем доброго дня! Статьи стали реже, каюсь, но делаю все, что в моих силах, чтобы они все же выходили! Сегодня продолжим рассматривать Физтех 2022 года выпуска. Итак, третья задача:
Принципиально задача звучит просто: делим число на три степени десяти, складываем остатки, смотрим на результат. Число у нас семизначное, можно представить в таком виде:
Здесь g — количество единиц, g — количество десятков, и так далее по смыслу. Большой буквой R с индексом здесь и дальше в задаче я буду обозначать остаток от деления на число указанное в индексе. Для начала попробуем поделить на 10, запишем остаток:
Так как степени десяти должны быть последовательными, то нам понадобятся еще остатки от деления на 100 и 1000:
Сложим их, как и сказано в условии:
Чтобы получить максимально возможное значение полученной суммы нужно взять максимально возможную цифру — 9:
Итак, делить на 10 мы не могли. Рассмотрим следующую тройку, для этого поделим на следующую степень десяти (числа все больше — буду записывать именно как 10 в степени):
Сложим остатки, получим:
Проверим, может ли быть такое:
Опять мимо! Значит, стоит рассмотреть следующие три степени:
Ну эта сумма уже точно может существовать. Причем аж в двух экземплярах. Первый возможный — когда c = 1, остальные цифры возникают сами собой:
Тогда наше число имело следующий вид:
Возможных a ровно 9 штук, возможных b ровно 10 штук. Всего вариантов будет 90.
Второй случай здесь — это если с = 0, тогда d должно быть равно 6, остальное аналогично:
Число имеет вид:
Количество таких чисел тоже равно 90.
Рассмотрим еще один случай. Может мы начали делить на 10000? Тогда нужен еще один остаток:
Сложим остатки:
Чтобы получить нужный остаток b и c должны обнулиться:
Такое число будет иметь вид:
Таких чисел всего 9!
Осталось просто сложить полученные способы — 90 + 90 + 9 = 189.
Ответ: 189.
Задача получилась достаточно сложная, но интересная — таких бы да побольше. А на сегодня все. Спасибо за внимание и удачи! Также советую посмотреть предыдущую:
И следующую задачи данной олимпиады:
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!