Безупречная конструкция, ставшая основой основ математики. В школе ей пользовались, но не понимали глубинный смысл

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу поговорить с Вами об известном Вам с школьной скамьи термине - интервале. Однако сегодня мы выйдем за рамки школьной программы (по содержанию, но не по сложности!) и формализуем это ключевое отличие, ставшее основой для достаточно сложной области математики - общей топологии. Итак, поехали!

Конечно, можно сказать, что рассуждать тут нечего: у интервала оба конца не включены в него, и дело в шляпе. Однако в школьной формулировке мы говорим лишь о двух точках не принадлежащих интервалу, в то время как обходим вниманием бесконечное количество точек ему принадлежащих.

Не логичнее ли найти у них общее свойство и положить в основу определения? Сейчас я расскажу, как строится эта безупречная математическая конструкция.

Что есть интервал на самом деле ?

Для начала посмотрим на интервал на привычной вещественной числовой оси и отметим на нем любую точку:

С точки зрения теории множеств интервал (а,b) это множество точек, каждая из которых одновременно >a и <b. Тогда а- это начало интервала, а b - конец интервала.

Что мы можем сказать о точке А? Путем интуитивных рассуждений мы можем сказать, что она принадлежит интервалу вместе с любым подинтервалом, который "помещается" в интервал (a,b). Например, так:

Точка А называется внутренней точкой интервала, если найдется хотя бы одна "маленькая" окрестность вокруг него, так же принадлежащая интервалу

Здесь точка А лежит внутри подинтервала (А', A''). Теперь заметим, что данное утверждение верно для ЛЮБОЙ точки, принадлежащей интервалу (a,b). Действительно, как бы мы не увеличивали масштаб, в силу того, что, например, левый конец интервала (а,b) ему не принадлежит, мы найдем нужную нам конструкцию:

Обратите внимание, не важно, на сколько далеко концы интервалов от исходной точки. Важно только то, что они включают её, а сами находятся в объемлющем интервале (а,b).

Открытое множество

Теперь мы можем определить "школьный" интервал в более общем смысле, используя понятие открытого множества:

• Множество называется открытым, если каждая его точка является внутренней. Таким образом "школьный" интервал - это открытое множество на вещественной прямой.

С моей точки зрения, этих логических рассуждений уже достаточно, чтобы почувствовать глубинную важность и красоту открытых множеств.

• Во-первых, мы сейчас дали характеристику каждой точке интервала. Более строгого определения быть уже не может.
• Во-вторых, вместе с каждой точкой мы описали некую "структуру", определяющую свойства интервала.

Заметьте, что в наших рассуждениях мы не оперировали никакими расстояниями, нам была важно только свойство принадлежности. Это очень важная топологическая подводка.

Примеры открытых множеств на вещественной прямой

Первый пример мы уже описали - это интервал (a,b). Еще одним наивным примером является открытый луч:

Действительно, любая его точка, находящаяся ближе к началу или на бесконечности, является внутренней. В математике также принято открытым множеством (но не только!) считать всю вещественную прямую и даже пустое множество.

В следующем материале мы поговорим о различных теоретико-множественных конструкциях, касающихся открытых множеств, а именно про их пересечение и объединение. Именно там данное нами определение покажет себя во всей топологической красе.

Читать продолжение

• Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, чтобы не пропустить следующие публикации.
• TELEGRAM и Facebook - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.