Задача
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула
(ДЕЛ(x, А) ∧ ¬ДЕЛ(x, 50)) → (¬ДЕЛ(x, 18) ∨ ДЕЛ(x, 50))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?
Решение:
Для начала попробуем упростить наше выражение с помощью преобразования импликации в нормальную дизъюнктивную форму. Сделать это можно, расписав третью строчку таблицы истинности.
Теперь немного условимся об обозначениях:
Теперь перепишем исходное выражение (ДЕЛ(x, А) ∧ ¬ДЕЛ(x, 50)) → (¬ДЕЛ(x, 18) ∨ ДЕЛ(x, 50)) с учетом расписанной импликации и максимально его упростим:
Последнее выражение должно быть тождественно истинным. То есть выражение должно принимать значение логической единицы для любого значения x. Исходя из этих условий мы и должны найти наименьшее значение параметра A.
Выражение ¬(ДЕЛ(x, A) И ДЕЛ(x, 18)) ложно только тогда, когда число x делится на А и на 18 одновременно. Значит оно будет делиться и на А⋅18, если А и 18 являются взаимно простыми числами. Чтобы общее выражение было истинно независимо от x, в этом случае должна быть истина часть ДЕЛ(x, 50), т.е. число должно делиться на 50, если уж первая часть дизъюнкции не дела истину. Если мы подберем такое А, что А⋅18 будет делиться на 50, то будет истинно ДЕЛ(x, 50). А в любом другом случае, когда x не делится одновременно на А и на 18, левое выражение даст истину, поэтому не нужно будет проверять делимость на 50.
Получается, что A подбирается из условия (А⋅18) mod 50 = 0. Отсюда следует, что А⋅18 = 50⋅k, где A = (50⋅k)/18 = (25⋅k)/9. Если k = 9, то A = 25 и является минимальным параметром, решающим нашу задачу.
Ответ: А = 25.
Если возникает сомнение в аналитическом решении, вы всегда можете проверить его с помощью численного моделирования, а именно перебора всех вариантов. Например, это можно сделать так:
Что может помочь ? Конечно же законы алгебры логики
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram