Здорова, друзья! Наконец-то ваш блогер и про физику вспомним. А то вы наверняка долго ждали разборов годных задач. Сегодня должно кое-что годное получиться. Недавно с моим учеником во время занятия мы наткнулись на интересную задачку по кинематике. Задача была связана с кривизной траектории. Но проблема в том, что в 95% школ необходимый для этого математический аппарат не проходят на уроках алгебры. И возникают закономерные вопросы:
1. Как вообще решать подобные задачи ?
2. Есть ли более простой способ?
И сегодня мы попытаемся найти ответы на эти вопросы...
Задача
Камень бросили с горизонтальной площадки под углом 60° к горизонту. Через некоторое время камень упал на ту же площадку. Начальная скорость камня 4 м/с. Ускорение свободного падения 10 м/с² , сопротивление воздуха отсутствует.
1. Чему равен минимальный радиус кривизны траектории камня в течение его полета? Ответ дайте в метрах, округлив до десятых долей.
2. Чему равен максимальный радиус кривизны траектории камня в течение его полета? Ответ дайте в метрах, округлив до десятых долей.
Решение:
Начнем с того, что задачу можно решить двумя способами... Рисунок уже составили выше.
Способ 1
Обратите внимание как расположены тангенциальное и нормальное ускорения. В сумме эти вектора дают нам полное ускорение, которое равно ускорению свободного падения. ( normal - перпендикуляр, tangent - касательная ). А так как правило параллелограмма (сложение векторов) дает прямоугольник, то нормальное ускорение можно найти по обычной теореме Пифагора. Если же мы будем знать в каждой точке траектории нормальное ускорение (т.е. его функцию от координаты или времени), то мы сможем узнать кривизну и радиус кривизны в каждый момент времени или в каждой точке траектории. Т.к. нормальное ускорение связано с текущей скоростью и радиусом кривизны. Теперь попробуем всё это структурировать.
Способ 2
Если учащийся уже немного знаком с математическим анализом, то задачу можно решить с помощью обобщенного алгоритма нахождения функции R(x) для функции y(x).
Сначала произведем вывод формулы для длины произвольной дуги, заданной функцией y(x). Здесь будем пользоваться теоремой Пифагора и определением предельного приращения изменения функции к изменению её аргумента (т.е. определением производной). Используя прямое определение кривизны траектории в виде отношения приращения угла к приращению длины дуги, выведем общую формулу для кривизны.
Теперь найдем уравнение траектории в виде функции y(x). Легко будет найти координаты нулевых точек функции, определяющие длину траектории. Используем выведенную формулу, чтобы найти экстремум функции кривизны, что даст нам возможность найти максимальные и минимальные значения радиуса кривизны.
Вывод
Оба способа дают одинаковое решение. Какой способ проще для школьника? На мой взгляд, это первый способ. В силу того, что в 10-11 классах очень редко касаются темы конца 1-го (или даже начала 2-го курса). Однако, я думаю, что читателям было интересно прочитать второй (более сложный) способ в контексте чистого математического анализа. Второй способ работает для любой функции. Если интересно посмотреть на то как меняется кривизна траектории и радиус кривизны, то привожу графики, построенные в desmos:
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram