Взгляните внимательно на таблицу Пифагора, а именно, на чётные строчки. А ещё конкретнее, на младшие разряды произведений.
Обратите внимание на то, что все они имеют одинаковую симметрию — посередине в этих строчках расположено круглое число (результат умножения на 5), а до него и после него в числах идут одинаковые последовательности единиц. Такую симметрию называют сдвиговой.
Эта симметрия, конечно же неслучайна. Она — прямое следствие того, что у нас от рождения две руки, а следовательно, система счисления, которую мы используем, чётная. В свою очередь, циклическая группа, образуемая остатками от деления на чётное число, содержит в качестве нормальной подгруппы группу Z₂. Но я хотел сегодня рассказать не об этом.
Симметрия чётных строчек способна упростить жизнь тех, кому приходится пользоваться признаками делимости, то есть, числовым теоретикам и школьникам.
Признак делимости на 4
Наберите в поисковике, или спросите у детей школьников, каков признак делимости на 4. Получите очень простое правило: если десятки и единицы числа делятся на 4, то и всё число, каким бы большим оно ни было, тоже будет делиться на 4.
Его легко объяснить тем, что в сотню укладывается целое число четвёрок (100 делится на 4 без остатка) и в любой сотне числа, кратные 4 находятся на одних и тех же местах (имеют тот же набор двух младших разрядов) .
Мы видим из таблицы умножения, что ритм единиц в числах, кратных четырём, повторяется через каждые два десятка. Это значит, что можно вычитать из проверяемого числа 20, 40, 60 или 80 и, не изменяя делимости, привести его к строчке из таблицы умножения на 4. При таком вычитании, единицы остаются неизменными: вычитаются только цифры десятков.
Примеры:
● Число 92. Вычитаем из числа десятков, то есть из второго разряда, 8 и, оставляя единицы, получаем число 12 — маленькое и знакомое. На математическом языке это запишется так:
92 = 92 – 80 = 12 = 0 (mod 4)
Здесь (mod 4) означает, что все эти равенства относятся не к числам, а к остаткам от деления этих чисел на 4.
● Число 578. Отбрасываем сотни и вычитаем из десятков 6, получая маленькое число 18. То что оно делится на 4 с остатком 2, определить несложно:
578 = 78 = 78 – 60 = 18 = 2 (mod 4)
Признак делимости на 8
Всем известное правило гласит, что нужно изучить на делимость число, сложенное из трёх младших разрядов. Трёхзначные числа не подарок, но и с ними можно легко справиться, используя симметрию, присущую числам, кратным восьми.
Взгляните ещё раз на восьмую строчку таблицы умножения: младшие разряды чисел меняются с ритмом, повторяющимся через четыре десятка. Поэтому если вычесть из исследуемого числа 40, 80, 120, 160 или любое число десятков, кратное 4, то делимость числа на 8 это не изменит. Кроме того, вычитание 400 или 800 тоже не изменит остатка от деления на 8. Оперируя такими круглыми числами, мы опять сводим вопрос делимости к элементарной арифметике однозначных или двузначных чисел.
Примеры:
● Число 546. Вычитаем четыре сотни, получаем 146; вычитаем 12 десятков, получаем 26; это означает, что 546 на 8 делится с тем же остатком, что и 26, то есть, с остатком 2.
546 = 546 – 400 = 146 = 146 – 120 = 26 = 2 (mod 8)
● Число 325. Вычитаем из десятков 32, получаем 5. Это и есть остаток от деления исходного числа на 8.
Отсюда получаем ещё один полезный вывод: если десятки делятся на 8, то единицы сразу дают остаток от деления на 8!
● Число 992. Вычитаем 8 из сотен, получая 192. Вычитаем 16 из десятков, получаем 32, которое прекрасно делится на 8. А значит и исходное число — тоже.
Тот же принцип внутренней симметрии можно применить и к делимости на 6, вычитая из числа 3, 6, 9, и т. д. десятков. Но для шести проще воспользоваться признаком делимости на 3, о котором мы говорили в предыдущий раз.
Ну, и бонусом, для любой степени двойки можно вывести общий способ вычислить остаток от деления на неё многозначного числа с цифрами ...d₃d₂d₁d₀
Для 2: остаток тот же, что у d₀
Для 4: остаток тот же, что у d₀ + 2d₁
Для 8: остаток тот же, что у d₀ + 2d₁ + 4d₂
Для 16: остаток тот же, что у d₀ + 2d₁ + 4d₂ + 8d₃
и т.д.
Пример:
● Число 973
973 = 3 = 1 (mod 2)
973 = 2×7+3 = 17 = 1 (mod 4)
973 = 4×9+2×7+3 = 53 = 5×2+3 =13 = 5 (mod 8)