Все знают, что ноль — это число особенное: можно писать "нОль", а можно "нУль"; на него нельзя делить; некоторые включают его в натуральные числа, некоторые — нет; умножая ноль на любое число, всегда получается ноль, а ещё ноль в нулевой степени почему-то равен единице.
И вот это реально странно. Возведение в степень — это ни что иное, как умножение числа само на себя некоторое количество раз. А так как при умножения на ноль любого числа всегда будет ноль, ноль в нулевой степени должен быть равен нулю, не так ли?
На самом деле не так, но школьники часто следуют именно логике, описанной выше, а когда им говоришь, что ноль в нулевой степени равен единице, в глазах читается непонимание. Поэтому давайте разбираться. Доказательств того, что 0⁰=1 достаточно много, но я приведу лишь несколько.
Доказательство первое
Всем известно, что любое число в нулевой степени — это единица. Если кто-то не верит, то на картинке ниже доказательство этого факта.
Рассмотрим на примере. Пусть, например, А=8, а n=m=2, тогда с одной стороны 8² : 8² = 8 ²⁻² = 8⁰, а с другой стороны мы просто делим число само на себя. Впрочем, можно даже не пользоваться свойством степеней, а посчитать всё в лоб, 8² : 8² = 64 : 64 = 1. Вот и получается, что 8⁰=1.
Такую же логику можно применить к абсолютно любому числу. В том числе и к нулю. Не верите?
Тогда давайте будем подходить к нулю постепенно и посчитаем значение выражения Х в степени Х для иксов от единицы до нуля. Получится вот такая табличка и график.
И тут стоит обратить внимание на то, что сначала при уменьшении икса значение Y=X^x уменьшается, но между 0,3 и 0,4 Y вдруг начинает расти. И при стремлении икса к бесконечности стремится к единице. А при непрерывности логично предположить, что в точке ноль значение 0⁰ равно единице. Чем вам не доказательство?
Ещё одно доказательство
Давайте теперь рассмотрим задачку по комбинаторике (не пугайтесь, она несложная). Допустим есть три огорода и две культуры: картошка и лук. На каждом огороде можно посадить только одну культуру. Сколькими способами это можно сделать? Повторяться, разумеется, можно и даже нужно.
Например, на всех огородах можно посадить только картошку. Или на первом огороде картошку, в на двух других лук и так далее. Всего 2³=8 вариантов. Можно посчитать это ручками, перебрав все варианты, а можно воспользоваться теоремой из комбинаторики, которая гласит, что множество с количеством элементов М можно отобразить на множество с количеством элементов N Nᴹ способами.
А теперь давайте подумаем, сколькими способами можно отобразить пустое множество на другое пустое множество? Иначе говоря, сколькими способами можно ничего не посадить, если у нас нет ни одного огорода? Разумеется, только одним — ничего нигде не сажать. И это ещё одно доказательство того что 0⁰=1. Не очень строго, зато, надеюсь, понятно.
***
Впрочем, не надо так сильно заморачиваться. В математике бывает и такое, что 0 в степени 0 не равняется единице. Вот вам контрпример. Каждая из двух функций поодиночке равняется нулю, но при возведении одной функции в другую получается совсем не ноль — смотри картинку ниже.
Да, тут идет некоторая подмена понятий, точное значение подменяется пределом, но в большинстве случаев ошибок в вычислениях не возникает. Хотя в общем случае в рамках матанализа, при вычислении пределов говорят, что значение ноль в степени ноль не определено. И таких неопределенностей в матане довольно много. Например, ∞-∞; ∞/∞, 0/0; ∞⁰ и другие. В каждом конкретном случае они будут разрешаться по-разному, поэтому, на самом деле, значение 0⁰ в каком-то смысле зависит от контекста, если можно так выразиться.
Именно поэтому некоторые калькуляторы отказываются считать значение 0⁰ и выдают ошибку, а некоторые смело выдают единицу. В разных языках программирования по-разному, да и математики об этом до сих пор спорят. Но переживать не стоит, потому что в реальных вычислениях вам такое не попадется.
Если дочитали до конца, ставьте лайк, подписывайтесь на мой Телеграм-канал и вот, что ещё рекомендую почитать: