Несмотря на то, что для многих эта головоломка кажется какой-то интуитивно понятной, если подходить к доказательству строго, оно будет весьма и весьма непростое и не за 2 секунды.
Пока что предлагаю подумать самостоятельно. Перед вами квадрат, который разделен на четыре четырехугольника. Площадь трех из них известна, а площадь четвертого надо найти. Площадь квадрата неизвестна, зато известно, что стороны квадрата делятся пополам сторонами других четырехугольников. Короче — на рисунке всё есть.
Что скажете? Как решать? Наверное, самое популярное предположение, что неизвестная площадь равна 28. Но как к этому прийти? Можно использовать утверждение, что если стороны квадрата разделены пополам, то справедливо соотношение S1+S3=S2+S4. То есть сумма двух диагонально расположенных фигур равна сумме площадей двух других фигур.
В нашем случае искомая площадь S=16+32-20=28. Вроде бы ответ правильный. Но есть один нюанс. Мы не доказывали утверждение, на которое опирались. А надо бы. Я не буду этого делать, но вы попробуйте для начала перенести общую для всех четырехугольников точку в центр квадрата. Получите четыре одинаковых квадрата со сторонами в половину стороны большого квадрата. Для этого случая утверждение очевидно. А потом двигайте точку и доказывайте утверждение для произвольного расположения точки и неправильных четырехугольников.
Я же расскажу способ решения, который мне понравился своим изяществом. Тут нет необходимости что-либо доказывать. Просто пользуемся формулами и знаниями седьмого класса. Это, должно быть, не самый быстрый способ, зато простой. Если у вас есть более оригинальные идеи, welcome в комменты.
Разделим каждый четырехугольник диагональю на две части. И рассмотрим два треугольника (заштрихованы оранжевым и фиолетовым), площади которых равны, так как у них одинаковая высота (h — выделена салатовым), а основания равны как половины стороны большого квадрата. Обозначим площади этих треугольников за X.
Дальше пляшем от этих иксов. Площадь треугольника №1 (смотри рисунок ниже) равна (20-Х) и равна площади треугольника №2 (одинаковая высота и равные основания). Так как площадь четырехугольника, состоящего из треугольников 2 и 3 равна 32, следовательно площадь треугольника №3 равна 32-(20-Х)=(12+Х). Из-за того, что треугольники 3 и 4 имеют одинаковую высоту и равные основания следует, что площадь треугольника №4 тоже равна (12+Х).
Теперь перенесемся к треугольнику №6. Его площадь равна площади треугольника №5 (снова одинаковая высота и равные основания). А так как площадь треугольника №6 равна (16-Х), то и площадь треугольника №5 тоже равна (16-Х).
Теперь видно, что искомый четырехугольник состоит из двух треугольников №4 и №5. Складываем их площади и получаем (12+Х)+(16-Х)=28. Как видите ответ тот же, но основывался он только на площадях треугольников. Никаких сложных теорем и доказательств.
Как вам задачка? Мне эта головоломка очень понравилась. Именно тем, что её может решить любой семиклассник, хотя, насколько я помню, она предлагалась на какой-то олимпиаде для старших классов.
Ну и уже по традиции приглашаю всех посетить мой Ютуб-канал.
Ещё интересно: "Как такое можно давать в первом классе? Даже я решить не могу" — мама в сети возмутилась сложностью школьного задания
Семиклассник рассказал, как быстро найти глубину любой станции метро
