Юрий Евгеньевич родился в конце января 1945 года в Балашихе Московской области. Его родители были обычными рабочими и трудились на местном литейно-механическом заводе. С 14 лет будущий Олимпийский чемпион стал заниматься в спортивном клубе «Машиностроитель», причем сразу двумя видами спорта – футболом и хоккеем. После окончания восьмилетки в 16 лет Ляпкин устроился на завод, на котором вкалывали родители, учеником лекальщика. Он продолжал тренироваться в «Машиностроителе» и в 1963 году в составе футбольной команды выиграл чемпионат Московской области...