Все варианты верны, их написание зависит от смысла предложения. «Зачем» и «за чем» являются фонетическими омонимами, они звучат одинаково, но пишутся по-разному. «За чем» - это местоимение с предлогом «за», где «чем» - это местоимение «что» в творительном падеже. Когда употребляется данное местоимение? За чем ты пошёл в магазин: за хлебом или молоком? То есть, что именно ты хочешь купить. За чем он спрятался? То есть, за каким объектом (за деревом или за гаражом). За чем она полезла в погреб? То есть, что она захотела взять там: огурцы или компот...

Союзы и союзные слова – это не самая любимая часть структуры сложноподчинённых предложений, потому их разграничение, определение синтаксической функции или части речи вызывает у 9-тиклассников определённые трудности. Попробуем, не прибегая к сложным учебным формулировкам, выяснить этот вопрос раз и навсегда. Подписывайтесь на мой Телеграм-канал 👉https://t.me/savcenko_russ_na_vse_sto Здесь много работающих лайфхаков по орфографии и пунктуации, интересных фактов о языке, советов и рекомендаций по подготовке к ЕГЭ, ОГЭ, ВПР...