Толковый словарь, да и Википедия поясняют нам, что сланец – это горная порода. Если посмотреть на её срез, то видно, что камень словно уложен тонкими пластинами, слоями. Как раз от слова «стлать» («стелить») и образовано название породы. Такое же название получил и город в Ленинградской области, благодаря открытому неподалёку месторождению горючих сланцев.  В СССР завод «Полимер» , расширив поле деятельности, стал поставлять резиновую обувь по всей стране. В том числе и наши любимые шлёпанцы. Очень скоро все начали именовать их по месту производства...