Силлогизмами мы пользуемся постоянно. Набивший оскомину пример из Древней Греции (Все люди смертны, Сократ — человек, следовательно, Сократ смертен) является именно силлогизмом. Часто люди даже не замечают, что используют силлогизм. Простой пример. К вам неожиданно попал попугай, а вы ничего не знаете о том, чем его кормить. Вы читаете про то, что едят попугаи, и распространяете эту информацию на своего попугая. Попугаи едят зёрна. Это существо — попугай. Значит, он ест зёрна. Про cogito ergo sum (или ego cogito ergo sum) тоже сказано немало...