Не очень хорошая практика — делать что-либо на бегу, но порой по-другому просто не получается. Вы, наверное, уже заметили: «на бегу» мы написали раздельно. Есть ещё, конечно, форма глагола «набегу» от «набежать», но мы сейчас говорим именно о наречии. Правильно: на бегу Наречные сочетания, образованные от существительного с предлогом, пишутся раздельно...

Какую букву писать в родительном/дательном/предложном падежах? На самом деле, все очень просто! Запоминайте алгоритм...