Все варианты верны, их написание зависит от смысла предложения. «Зачем» и «за чем» являются фонетическими омонимами, они звучат одинаково, но пишутся по-разному. «За чем» - это местоимение с предлогом «за», где «чем» - это местоимение «что» в творительном падеже. Когда употребляется данное местоимение? За чем ты пошёл в магазин: за хлебом или молоком? То есть, что именно ты хочешь купить. За чем он спрятался? То есть, за каким объектом (за деревом или за гаражом). За чем она полезла в погреб? То есть, что она захотела взять там: огурцы или компот...

Приветствую вас, друзья! На уроке "Наслаждаться жизнью или страдать?" (смотреть в записи) я говорила, что первый вопрос, который надо задать страдающему ("зависшему" в любой проблеме): «Зачем? Зачем ты это делаешь?» Обычно этот вопрос ставит в ступор того, кто не проходил терапию. Например: — Зачем ты носишь в себе чувство вины или обиду? — Зачем ты переедаешь (объедаешься сладким)? — Зачем ты тревожишься? Высока вероятность, что ваш собеседник даже злиться начнёт. Ведь ему искренне кажется, что причин для мук и страданий полно, а вы нехороший человек его не понимаете...