Мы знаем, что такое простые числа. Это целые числа, которые делятся на себя и единицу. И все. Можно спросить: есть ли самое большое простое число? Не лишним будет привести здесь доказательство бесконечности ряда простых чисел. Следующее доказательство это принадлежит гениальному основателю геометрии, древнегреческому математику Евклиду и входит в его знаменитые «Начала». Оно относится к разряду доказательств «от противного». Предположим, что ряд простых чисел конечен, и обозначим последнее простое число в этом ряду буквою N. Составим произведение 1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 х 7 ... N = N! и прибавим к нему 1. Получим N! + 1. Число это не делится ни на одно из чисел, меньших, чем N - всякий раз получится остаток 1. Но, быть может, оно делится на какое-нибудь число, большее, чем N? Что же может быть его делителем? Конечно, не простое число, так как простых чисел, больших нежели N, не существует (мы это предположили). Значит, оно составное. Но среди этих множителей должно непременно быть меньшее N (потому что разлагаемое число меньше N!), а мы знаем, что N! + 1 не делится ни на одно из чисел, меньших N - следовательно, не может делиться и на их произведение или на число, содержащее множителем хотя бы одно из них. Итак, предположение, что ряд простых чисел конечен, приводит к противоречию. Какую бы длинную серию последовательных составных чисел мы ни встретили в ряду натуральных чисел, мы можем быть убеждены, что за нею найдется еще бесконечное множество простых чисел.
Привет всем, кто любит математику, а также тем, кто, благодаря мне, её полюбит! В предыдущей статье про мосты Кёнигсберга я обещал рассказать Вам про циклические числа. Они изучаются в теории чисел, которая ещё называется высшей арифметикой. Итак, что такое циклическое число? Пожалуй, я приведу пример первого такого числа, и Вы сразу поймёте, о чём речь. Наименьшее из циклических чисел - это 142857. И почему же оно циклическое? Смотрите: Заметили? При умножении 142857 на числа от 1 до 6 получаются...