Давайте сразу расставим точки над «i», чтобы не тянуть кота за хвост. Единственно верный вариант, который не заставит вашего учителя литературы рыдать в подушку — это раздельное написание. Только «как же» и никак иначе. Никаких дефисов, никаких слитных конструкций. Почему? Да всё просто, как дважды два. В нашем случае «же» — это частица. А частицы «же», «бы», «ли» (ну, вы их помните со школы, эти вечные «кое-либо-то-нибудь») обожают гулять сами по себе. Они как те кошки из сказки Киплинга. Между «как» и «же» можно даже впихнуть какое-нибудь другое слово, и смысл не развалится. Например: «Как именно же ты это сделал?»...

Если не ходить вокруг да около, то ответ один-единственный: правильно только «ни при чём». Пишется это дело строго в три слова. Забудьте про вариант с буквой «е», его в грамотном русском языке просто не существует в природе. Это как вечный спор про «тся» и «ться», только здесь подвох затаился в маленькой частице. Почему так? Ну, смотрите. Это устойчивое сочетание, где «ни» выступает в роли усилительной частицы. Чаще всего мы используем эту фразу, когда хотим откреститься от какой-то ситуации: «Я тут ни при чём, оно само сломалось!». Знакомо? Вот именно в таких случаях нам нужна буква «и». Честно говоря, наш мозг — та еще штучка...