Прежде всего, приглашаю вас вспомнить, какими бывают предлоги. Предлоги бывают: Простые - это предлоги, состоящие из одного слова: к, у, на, под, в, от, вблизи, вдали, из-за и т.д.. Составные - это предлоги, состоящие из нескольких слов: в течение (недели), в связи (с окончанием), в счёт (зарплаты). Производные образуются в результате перехода самостоятельных частей речи в служебные. При этом вся их самостоятельность утрачивается: и лексическое значение, и морфологические признаки: предлог вокруг...

Они бежали к поезду, (не)смотря под ноги. Не смотря — это деепричастие с частицей. А «не» с деепричастиями пишется раздельно. Важно не путать с предлогом «несмотря на». Если в предложении используется деепричастие с частицей, то его можно заменить другим деепричастием с частицей: «не глядя». Правильно: Они бежали к поезду, не смотря под ноги. (Не)смотря на плохую погоду, они всё равно поехали в лес. Несмотря на — это предлог. Используется в значении «вопреки чему-то». «Не» пишем слитно. Правильно: Несмотря на плохую погоду, они всё равно поехали в лес...