Наречия бывают разными, контекст уж само собой всегда разный, и всё это необходимо учитывать, чтобы не допустить ошибку в написании с «не». Для начала мы приведём все случаи слитного и раздельного написания, даже те, в которых мало кто способен ошибиться...

Это уже второй урок русского! Они бежали к поезду, (не)смотря под ноги. Не смотря — это деепричастие с частицей. А «не» с деепричастиями пишется раздельно. Важно не путать с предлогом «несмотря на». Если в предложении используется деепричастие с частицей, то его можно заменить другим деепричастием с частицей: «не глядя». Правильно: Они бежали к поезду, не смотря под ноги. (Не)смотря на плохую погоду, они всё равно поехали в лес. Несмотря на — это предлог. Используется в значении «вопреки чему-то»...