Когда мы используем эти две фразы, мы указываем на большое количество кого-то или чего-то. Их можно использовать как с исчисляемыми, так и с неисчисляемыми существительными. Обе фразы переводятся как «много, большое количество». То есть между A lot of и Lots of разницы нет. Единственное различие, что в английской речи чаще всего можно услышать lots of, так как это короче и проще, нежели a lot of. Например: I had a lot of watermelon. У меня было много арбузов...

В английском не всегда обязательно использовать число для обозначения количества того или иного предмета. Так например, мы можем использовать a lot of / lots, much, many для обозначения большого количества какого-то предмета. Например, "I have a lot of flowers". Что в переводе "У меня есть много цветов". Так же можно употреблять когда у нас небольшое количество с помощью слов several, enough, most. "We have several cats", что в переводе будет означать "У нас есть немного (несколько) котов". Ну и когда мы говорим о малых количествах, то говорим a few, a little, not many...