Мы знаем, что такое простые числа. Это целые числа, которые делятся на себя и единицу. И все. Можно спросить: есть ли самое большое простое число? Не лишним будет привести здесь доказательство бесконечно­сти ряда простых чисел. Следующее доказательство это принадлежит гениальному ос­нователю геометрии, древнегреческому математику Ев­клиду и входит в его знаменитые «Начала». Оно отно­сится к разряду доказательств «от противного». Пред­положим, что ряд простых чисел конечен, и обозначим последнее простое число в этом ряду буквою N. Соста­вим произведение 1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 х 7 ... N = N! и прибавим к нему 1. Получим N! + 1. Число это не делится ни на одно из чи­сел, меньших, чем N - всякий раз получится остаток 1. Но, быть может, оно делится на какое-нибудь чис­ло, большее, чем N? Что же может быть его делителем? Конечно, не простое число, так как про­стых чисел, больших нежели N, не существует (мы это предположили). Значит, оно составное. Но среди этих множителей должно непременно быть меньшее N (потому что раз­лагаемое число меньше N!), а мы знаем, что N! + 1 не делится ни на одно из чисел, меньших N - следо­вательно, не может делиться и на их произведение или на число, содержащее множителем хотя бы одно из них. Итак, предположение, что ряд простых чисел конечен, приводит к противоречию. Какую бы длинную серию по­следовательных составных чисел мы ни встретили в ряду натуральных чисел, мы можем быть убеждены, что за нею найдется еще бесконечное множество про­стых чисел.