КОРОТЫШКИ. - ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ и ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТЕЙЛОРА. В чём их смысл, и различия? - Единое ИНВЕРСИОННОЕ действие трёх пространств (вещественного, мнимого и действительного) предполагает , в той же механике, существование, помимо "классической" ("земной") ещё двух своих реализаций (формализм) - частотной ("солнечной") Гамильтоновой и конфигурационной ("лунной") Лагранжевой. Процесс дифференцирования и интегрирования, заложенный в мат. анализе, это тоже алгоритм нахождения соответствия между, соответственно, "землёй" и "луной", и "землёй" и "солнцем". По причине того, что между этими тремя пространствами наличествуют взаимно-однозначные соответствия (со всякими там изо-, гомо- и гомеоморфизмами), то и для любой функции на нашем "земном" поприще можно подыскать соответствующий "аналог" в "лунном" и "солнечном" пространствах. Все такие соответствия основаны, с одной стороны, на соответствиях друг другу трёх типов элементарных формообразующих поверхностей (сфер), соответствующих каждая своему типу пространства (это, так сказать, "внешнее" соответствие). С другой же стороны, существует соответствие "внутреннее" - между диаметром и образующей на каждой такой сфере. Возвращаясь к сути Вашего вопроса, скажем, что преобразования Фурье - "солнечны" (они проявляют соответствие любой "земной" функции её "солнечному" образу). Каждый локальный участок "земного" графика подменяется набором "солнечных" (частотных) компонент (пучком соответствующих синусоид). Преобразования же Тейлора - "лунные", когда "земная" функция соответствует своему "лунному" образу. Действительное пространство "луны" рождает на себе три типа числовых систем - отрицательные, рациональные и р-адические. Так вот, ряд Тейлора вобрал в себя все свойства этих систем (и степенную зависимость, и рациональную и вычитательную). Как любое наше "земное" вращение раскладывается на свою "солнечную" составляющую (прецессия) и "лунную" (нутация), так и любая наша "земная" функция подвержена такому разложению на "солнце" и "луну". Это и есть, соответственно, разложение Фурье и Тейлора.