Представьте многочлен P(x)=x^100+x^20+1 в виде произведения четырёх многочленов ненулевой степени с целыми коэффициентами. Эта задача была на молдавском отборе 2004 года к юниорской Балканской олимпиаде. Для начала заметим, что x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1). Следовательно, P(x)=x^100+x^20+1=(x^40+x^20+1)(x^60-x^40+1). Теперь заметим, что x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1) и применим эту формулу два раза: P(x)= (x^40+x^20+1)(x^60-x^40+1)=(x^20-x^10+1)(x^20+x^10+1)(x^60-x^40+1); P(x)=(x^20-x^10+1)(x^10-x^5+1)(x^10+x^5+1)(x^60-x^40+1). Представление мы получили, но у читателей, возможно, возник вопрос, как мы замечали такие равенства...

Продолжаем цикл наших занятий по пределам. Сегодня у нас пойдёт речь о втором замечательном пределе. С первым они отличаются значительно, можно сказать что совсем ничего общего не имеют, кроме того что оба "замечательные". В плане решения он чуточку сложнее, это нас не должно останавливать, ведь знать и применять его действительно необходимо студентам имеющим дело с матаном. В общем нас сегодня ждёт интересный материал. Приступим... Запишем, как выглядит второй замечательный предел математически...