Вспомним правила русского языка. Согласно правилам русского языка оба варианта написания считаются правильными: «по прежнему» и «по-прежнему». Все зависит от того, к какой части речи относится слово. Дефис в слове «по-прежнему» ставится, если слово используется в форме наречия и отвечает на вопрос «как?» Так, в 84 параграфе академического справочника «Правила русской пунктуации и орфографии» сказано, что через дефис пишутся наречия, образованные от прилагательных и местоимений, начинающиеся, в том числе, с по- и оканчивающиеся на -ему, например: по-прежнему...

Сегодня в рубрике Учил, но забыл разберем дефисное написание наречий. 1. Через дефис пишутся наречия с приставкой по-, образованные от полных прилагательных и местоимений и оканчивающиеся на -ому, -ему, -ки, -ьи. Пример: работать по-новому, пусть будет по-вашему, советовать по-дружески, говорить по-французски, хитрить по-лисьи, по-видимому, по-пустому, по-прежнему.  Примечание:  • Приставка по- пишется слитно, если в состав наречия входит краткое прилагательное на -у (подолгу, помаленьку) или сравнительная степень (побольше, почаще)...