Как показывает практика, написание глаголов, которые оканчиваются на "тся" и "ться", вызывает большие затруднения у многих. Соответственно ошибки в таких словах встречаются очень часто. Так в каких случаях писать "тся" и в каких - "ться"? Запомнить это очень легко. Главное - определиться, какой вопрос можно поставить к слову - "что делает (ют)?" или "что делать?". В первом случае пишем "тся", во втором - "ться". Пример - со словами "учится" - "учиться". "Я учусь, и он - ...". Выбираем подходящий вопрос из пары "что делает?" - "что делать?"...

Все варианты верны, их написание зависит от смысла предложения. «Зачем» и «за чем» являются фонетическими омонимами, они звучат одинаково, но пишутся по-разному. «За чем» - это местоимение с предлогом «за», где «чем» - это местоимение «что» в творительном падеже. Когда употребляется данное местоимение? За чем ты пошёл в магазин: за хлебом или молоком? То есть, что именно ты хочешь купить. За чем он спрятался? То есть, за каким объектом (за деревом или за гаражом). За чем она полезла в погреб? То есть, что она захотела взять там: огурцы или компот...