Вариаций обоих вопросов несколько, как ни странно. Do you have a (pet) cat? - на такой вопрос отвечают Yes, I do или No, I don’t. Have you got a (pet) cat? - тут ожидаемые ответы Yes, I have или No, I haven’t. В разговоре, особенно дети, а также взрослые в разговоре с детьми, котов и кошек часто называют «кисами», используют слово kitty вместо cat. Если спросить надо у маленькой девочки, как зовут ее кошку, то вопрос можно сформулировать, например, так What’s your kitty’s...

Кот с боевым характером - это a tomcat, если нужно идею передать, что "сам за себя постоять может", то вот то самое слово. Довольные коты обычно урчат (мурчат), какие-то тихо, какие-то громко. Если кот урчит вот прямо сейчас - the cat is purring. Котята часто жалобно мяучат - в таком случае подойдёт выражение, как на скриншоте: mew (произносится "мью") pitifully. Занятно, что в английском есть глагол, который так и произносится "мяу" (ми-Ау) - BrE miaow (AmE meow), но это обычно про такое требовательное...