Вариаций обоих вопросов несколько, как ни странно. Do you have a (pet) cat? - на такой вопрос отвечают Yes, I do или No, I don’t. Have you got a (pet) cat? - тут ожидаемые ответы Yes, I have или No, I haven’t. В разговоре, особенно дети, а также взрослые в разговоре с детьми, котов и кошек часто называют «кисами», используют слово kitty вместо cat. Если спросить надо у маленькой девочки, как зовут ее кошку, то вопрос можно сформулировать, например, так What’s your kitty’s...

Официальный термин в отношении котов и собак, которых берут к себе пожить на какое-то время, такой же, как и в случае детей (увы, так грустно): to foster a cat - взять кота (кошку) на передержку to foster a dog - взять собаку на передержку Само действие...