Какой из этих вариантов правильный? Честно говоря, у меня сомнений нет на этот счёт. Точнее, я даже не представляю, как можно сказать иначе. Наверное, когда-то в в древние времена люди и говорили "помахай ручкой", но сегодня это кажется очень безграмотным. Правильная форма глагола махать — машет или машут. Правильный пример: Никаких о "махает" или "махают" не может быть и речи. Однако, в разговорной речи время от времени всё же можно услышать подобное выражение...

Современный русский язык допускает употребление все этих форм: машу, машет, машут, махаю, махает, махают и т.д. Нормативными соответствующими стилистике современного русского языка считаются: машу, машет, машут, машем...